Номер 13.16, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

13.16 К каждому из следующих уравнений подберите второе уравнение так, чтобы полученная система имела единственное решение:

а) $3x - 2y = 8;$

б) $-5x + 4y = 1;$

в) $-3x - 7y = 2;$

г) $5x + 6y = 9.$

Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя переменными имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при соответствующих переменных не были пропорциональны. Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке, то есть их угловые коэффициенты не равны.

Рассмотрим систему уравнений в общем виде:
$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $
Эта система имеет единственное решение, если выполняется условие непропорциональности коэффициентов:
$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
Наша задача — для каждого данного уравнения $a_1x + b_1y = c_1$ подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$, удовлетворяющее этому условию. Существует бесконечное множество таких уравнений, поэтому мы приведем по одному возможному примеру для каждого случая.

а) Дано уравнение $3x - 2y = 8$. Здесь коэффициенты $a_1 = 3$ и $b_1 = -2$.
Нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ для второго уравнения так, чтобы выполнялось условие $ \frac{3}{a_2} \neq \frac{-2}{b_2} $.
Выберем простые коэффициенты, например, $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$.
Проверим условие: $ \frac{3}{1} \neq \frac{-2}{1} $, или $3 \neq -2$. Условие выполняется.
В качестве свободного члена $c_2$ можно взять любое число, например, $c_2 = 0$.
Таким образом, второе уравнение может быть $x + y = 0$.
Ответ: $x + y = 0$.

б) Дано уравнение $-5x + 4y = 1$. Здесь $a_1 = -5$ и $b_1 = 4$.
Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы $ \frac{-5}{a_2} \neq \frac{4}{b_2} $.
Выберем, например, $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$.
Проверим условие: $ \frac{-5}{1} \neq \frac{4}{1} $, или $-5 \neq 4$. Условие выполняется.
В качестве $c_2$ выберем, например, $c_2 = 2$.
Таким образом, второе уравнение может быть $x + y = 2$.
Ответ: $x + y = 2$.

в) Дано уравнение $-3x - 7y = 2$. Здесь $a_1 = -3$ и $b_1 = -7$.
Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы $ \frac{-3}{a_2} \neq \frac{-7}{b_2} $.
Выберем, например, $a_2 = 1$ и $b_2 = 0$. В этом случае второе уравнение будет иметь вид $x = c_2$.
Проверка условия $ \frac{-3}{1} \neq \frac{-7}{0} $ показывает, что оно выполняется (отношение не определено с одной стороны, что гарантирует непропорциональность).
В качестве $c_2$ выберем, например, $c_2 = 1$.
Таким образом, второе уравнение может быть $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

г) Дано уравнение $5x + 6y = 9$. Здесь $a_1 = 5$ и $b_1 = 6$.
Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы $ \frac{5}{a_2} \neq \frac{6}{b_2} $.
Выберем, например, $a_2 = 1$ и $b_2 = -1$.
Проверим условие: $ \frac{5}{1} \neq \frac{6}{-1} $, или $5 \neq -6$. Условие выполняется.
В качестве $c_2$ выберем, например, $c_2 = 0$.
Таким образом, второе уравнение может быть $x - y = 0$.
Ответ: $x - y = 0$.