Номер 13.21, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

13.21 Решите графически систему уравнений $\begin{cases} ax + 3y = 11, \\ 5x + 2y = 12, \end{cases}$ если известно, что первое уравнение этой системы обращается в верное равенство при $x = 5$ и $y = -3$.

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} ax + 3y = 11, \\ 5x + 2y = 12 \end{cases} $$ По условию, первое уравнение $ax + 3y = 11$ обращается в верное равенство при $x = 5$ и $y = -3$.

1. Найдем значение коэффициента a.

Для этого подставим известные значения $x=5$ и $y=-3$ в первое уравнение системы: $$a \cdot 5 + 3 \cdot (-3) = 11$$ $$5a - 9 = 11$$ $$5a = 11 + 9$$ $$5a = 20$$ $$a = \frac{20}{5}$$ $$a = 4$$

2. Решим систему уравнений графически.

После нахождения коэффициента $a$ система приобретает вид: $$ \begin{cases} 4x + 3y = 11, \\ 5x + 2y = 12 \end{cases} $$ Для решения системы графическим методом необходимо построить графики обоих уравнений и найти их точку пересечения. Оба уравнения являются линейными, следовательно, их графики — прямые. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Построение графика уравнения $4x + 3y = 11$.
Выразим $y$ через $x$: $$3y = 11 - 4x$$ $$y = \frac{11 - 4x}{3}$$ Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

• При $x = 2$, $y = \frac{11 - 4 \cdot 2}{3} = \frac{11 - 8}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.
• При $x = 5$, $y = \frac{11 - 4 \cdot 5}{3} = \frac{11 - 20}{3} = \frac{-9}{3} = -3$. Получаем точку $(5; -3)$.

Построение графика уравнения $5x + 2y = 12$.
Выразим $y$ через $x$: $$2y = 12 - 5x$$ $$y = \frac{12 - 5x}{2}$$ Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

• При $x = 0$, $y = \frac{12 - 5 \cdot 0}{2} = \frac{12}{2} = 6$. Получаем точку $(0; 6)$.
• При $x = 2$, $y = \frac{12 - 5 \cdot 2}{2} = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Нахождение решения.
Построим обе прямые в одной системе координат. Прямая $4x + 3y = 11$ проходит через точки $(2; 1)$ и $(5; -3)$. Прямая $5x + 2y = 12$ проходит через точки $(0; 6)$ и $(2; 1)$.
Обе прямые пересекаются в точке $(2; 1)$. Координаты этой точки и являются решением системы уравнений.

Выполним проверку, подставив $x=2$ и $y=1$ в уравнения системы:
$4(2) + 3(1) = 8 + 3 = 11$ (верно).
$5(2) + 2(1) = 10 + 2 = 12$ (верно).

Ответ: $(2; 1)$.