Номер 13.17, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

13.17 К каждому из следующих уравнений подберите второе уравнение так, чтобы полученная система имела бесконечно много решений:

а) $8x + y = 5$;

б) $3x - 2y = 1$;

в) $7x + 8y = 4$;

г) $x - y = 3$.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого. Это означает, что должно выполняться равенство: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Чтобы найти второе уравнение, которое в системе с данным будет иметь бесконечно много решений, достаточно умножить исходное уравнение на любое отличное от нуля число $k$. Новое уравнение $k \cdot a_1x + k \cdot b_1y = k \cdot c_1$ будет эквивалентно исходному, и система, состоящая из этих двух уравнений, будет иметь бесконечное множество решений.

а) Дано уравнение $8x + y = 5$. Для получения второго уравнения, создающего систему с бесконечным числом решений, умножим исходное уравнение на произвольный ненулевой коэффициент, например, на $2$.
$2 \cdot (8x + y) = 2 \cdot 5$
$16x + 2y = 10$
Получаем систему: $ \begin{cases} 8x + y = 5 \\ 16x + 2y = 10 \end{cases} $
Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Условие выполняется.
Ответ: например, $16x + 2y = 10$.

б) Дано уравнение $3x - 2y = 1$. Умножим данное уравнение на произвольный ненулевой коэффициент, например, на $3$.
$3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot 1$
$9x - 6y = 3$
Получаем систему: $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 9x - 6y = 3 \end{cases} $
Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ и $\frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3}$. Условие выполняется.
Ответ: например, $9x - 6y = 3$.

в) Дано уравнение $7x + 8y = 4$. Умножим данное уравнение на произвольный ненулевой коэффициент, например, на $-1$.
$-1 \cdot (7x + 8y) = -1 \cdot 4$
$-7x - 8y = -4$
Получаем систему: $ \begin{cases} 7x + 8y = 4 \\ -7x - 8y = -4 \end{cases} $
Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{7}{-7} = -1$ и $\frac{8}{-8} = -1$ и $\frac{4}{-4} = -1$. Условие выполняется.
Ответ: например, $-7x - 8y = -4$.

г) Дано уравнение $x - y = 3$. Умножим данное уравнение на произвольный ненулевой коэффициент, например, на $5$.
$5 \cdot (x - y) = 5 \cdot 3$
$5x - 5y = 15$
Получаем систему: $ \begin{cases} x - y = 3 \\ 5x - 5y = 15 \end{cases} $
Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{1}{5}$ и $\frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}$ и $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. Условие выполняется.
Ответ: например, $5x - 5y = 15$.