Номер 13.12, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите графически систему уравнений:

13.12 a)

$\begin{cases} 2x + y = 1, \\ 2x + y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{2}{5}x - 1, \\ 4x - 10y = 10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x + 2, \\ x + 3y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 3y = 2, \\ 2x - 6y = 4. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат. Каждое уравнение является линейным, поэтому его график — прямая.

$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$

1. Для первого уравнения $2x + y = 1$ выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение вида $y = kx + b$:
$y = -2x + 1$.
Это прямая с угловым коэффициентом $k = -2$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 1)$.
Найдём две точки для построения прямой:
- если $x = 0$, то $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
- если $x = 1$, то $y = -2(1) + 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

2. Для второго уравнения $2x + y = 3$ также выразим $y$ через $x$:
$y = -2x + 3$.
Это прямая с угловым коэффициентом $k = -2$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 3)$.
Найдём две точки для построения прямой:
- если $x = 0$, то $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
- если $x = 1$, то $y = -2(1) + 3 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Анализируя уравнения $y = -2x + 1$ и $y = -2x + 3$, мы видим, что угловые коэффициенты прямых одинаковы ($k_1 = k_2 = -2$), а точки пересечения с осью OY различны ($b_1 = 1$, $b_2 = 3$). Это означает, что прямые параллельны и никогда не пересекутся.

Поскольку графики уравнений не имеют точек пересечения, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = \frac{2}{5}x - 1 \\ 4x - 10y = 10 \end{cases}$

1. Первое уравнение уже дано в виде $y = kx + b$: $y = \frac{2}{5}x - 1$.
Это прямая. Найдём две точки для её построения:
- если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
- если $x = 5$, то $y = \frac{2}{5}(5) - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(5, 1)$.

2. Преобразуем второе уравнение $4x - 10y = 10$ к виду $y = kx + b$:
$-10y = -4x + 10$
$y = \frac{-4}{-10}x + \frac{10}{-10}$
$y = \frac{2}{5}x - 1$.

Второе уравнение после преобразования полностью совпадает с первым. Это означает, что графики обоих уравнений — одна и та же прямая.

Поскольку графики совпадают, любая точка этой прямой является решением системы. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечно много решений.

в)

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x + 2 \\ x + 3y = 3 \end{cases}$

1. Первое уравнение $y = -\frac{1}{3}x + 2$ уже представлено в удобном для построения виде.
Это прямая. Найдём две точки:
- если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
- если $x = 3$, то $y = -\frac{1}{3}(3) + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(3, 1)$.

2. Преобразуем второе уравнение $x + 3y = 3$ к виду $y = kx + b$:
$3y = -x + 3$
$y = -\frac{1}{3}x + 1$.
Это прямая. Найдём две точки:
- если $x = 0$, то $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
- если $x = 3$, то $y = -\frac{1}{3}(3) + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Угловые коэффициенты прямых $y = -\frac{1}{3}x + 2$ и $y = -\frac{1}{3}x + 1$ одинаковы ($k_1 = k_2 = -\frac{1}{3}$), а свободные члены различны ($b_1 = 2$, $b_2 = 1$). Это означает, что прямые параллельны.

Так как графики не пересекаются, система уравнений не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г)

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} x - 3y = 2 \\ 2x - 6y = 4 \end{cases}$

1. Преобразуем первое уравнение $x - 3y = 2$ к виду $y = kx + b$:
$-3y = -x + 2$
$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$.
Найдём две точки для построения этой прямой:
- если $x = 2$, то $y = \frac{1}{3}(2) - \frac{2}{3} = 0$. Точка $(2, 0)$.
- если $x = -1$, то $y = \frac{1}{3}(-1) - \frac{2}{3} = -1$. Точка $(-1, -1)$.

2. Преобразуем второе уравнение $2x - 6y = 4$ к виду $y = kx + b$:
$-6y = -2x + 4$
$y = \frac{-2}{-6}x + \frac{4}{-6}$
$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$.

Можно также заметить, что второе уравнение получается из первого умножением обеих частей на 2. Уравнения эквивалентны.

Так как оба уравнения описывают одну и ту же прямую, их графики совпадают. Любая точка этой прямой является решением системы.

Ответ: бесконечно много решений.