Страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

13.1 Является ли пара чисел (1; 1) решением линейного уравнения с двумя переменными:

а) $7x + 3y = 10$; в) $6x + 8y = 1$;

б) $6x - 2y = 4$; г) $15x - 12y = 3?$

Для того чтобы проверить, является ли пара чисел $(1; 1)$ решением линейного уравнения, необходимо подставить значения $x=1$ и $y=1$ в каждое уравнение и проверить, обращается ли оно в верное числовое равенство.

а) $7x + 3y = 10$

Подставляем $x=1$ и $y=1$ в левую часть уравнения:

$7 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 7 + 3 = 10$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $10 = 10$.

Равенство верное, значит, пара чисел $(1; 1)$ является решением этого уравнения.

Ответ: да, является.

б) $6x - 2y = 4$

Подставляем $x=1$ и $y=1$ в левую часть уравнения:

$6 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $4 = 4$.

Равенство верное, значит, пара чисел $(1; 1)$ является решением этого уравнения.

Ответ: да, является.

в) $6x + 8y = 1$

Подставляем $x=1$ и $y=1$ в левую часть уравнения:

$6 \cdot 1 + 8 \cdot 1 = 6 + 8 = 14$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $14 \neq 1$.

Равенство неверное, значит, пара чисел $(1; 1)$ не является решением этого уравнения.

Ответ: нет, не является.

г) $15x - 12y = 3$

Подставляем $x=1$ и $y=1$ в левую часть уравнения:

$15 \cdot 1 - 12 \cdot 1 = 15 - 12 = 3$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $3 = 3$.

Равенство верное, значит, пара чисел $(1; 1)$ является решением этого уравнения.

Ответ: да, является.

13.2 Подберите несколько решений линейного уравнения $3x - 2y = 5$.

Чтобы найти решения линейного уравнения $3x - 2y = 5$, нужно найти такие пары чисел $(x, y)$, которые обращают это уравнение в верное числовое равенство. Для этого можно выбрать произвольное значение для одной переменной, а затем вычислить соответствующее значение другой переменной. Удобнее всего сначала выразить одну переменную через другую.

Выразим $y$ через $x$ из уравнения $3x - 2y = 5$:

$-2y = 5 - 3x$

Умножим обе части на $-1$:

$2y = 3x - 5$

Разделим обе части на 2:

$y = \frac{3x - 5}{2}$

Теперь будем подставлять различные значения $x$ в эту формулу и находить соответствующие значения $y$.

Подбор первого решения

Возьмем $x = 1$. Подставим это значение в формулу для $y$:

$y = \frac{3 \cdot 1 - 5}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, первая пара чисел, являющаяся решением, это $(1, -1)$.

Сделаем проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение:

$3(1) - 2(-1) = 3 + 2 = 5$.

$5 = 5$. Равенство верное.

Ответ: $(1, -1)$

Подбор второго решения

Возьмем $x = 3$. Подставим это значение в формулу для $y$:

$y = \frac{3 \cdot 3 - 5}{2} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Вторая пара чисел, являющаяся решением, это $(3, 2)$.

Сделаем проверку:

$3(3) - 2(2) = 9 - 4 = 5$.

$5 = 5$. Равенство верное.

Ответ: $(3, 2)$

Подбор третьего решения

Возьмем $x = -1$. Подставим это значение в формулу для $y$:

$y = \frac{3 \cdot (-1) - 5}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Третья пара чисел, являющаяся решением, это $(-1, -4)$.

Сделаем проверку:

$3(-1) - 2(-4) = -3 + 8 = 5$.

$5 = 5$. Равенство верное.

Ответ: $(-1, -4)$

Подбор четвертого решения

Можно также выбрать значение для $y$ и найти $x$. Например, пусть $y=0$. Подставим в исходное уравнение:

$3x - 2(0) = 5$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Четвертая пара чисел, являющаяся решением, это $(\frac{5}{3}, 0)$.

Сделаем проверку:

$3(\frac{5}{3}) - 2(0) = 5 - 0 = 5$.

$5 = 5$. Равенство верное.

Ответ: $(\frac{5}{3}, 0)$

13.3 Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел:

а) $(2; 5);$

б) $(-3; 1);$

в) $(-7; -2);$

г) $(-4; 5).$

а) Чтобы составить линейное уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, решением которого является пара чисел $(2; 5)$, нужно найти такие коэффициенты $a$, $b$ и $c$ в уравнении $ax + by = c$, чтобы при подстановке $x=2$ и $y=5$ получилось верное равенство. Существует бесконечно много таких уравнений, поэтому мы можем выбрать произвольные коэффициенты $a$ и $b$ (не равные нулю одновременно) и вычислить $c$.
Возьмем самый простой случай, где $a=1$ и $b=1$. Уравнение примет вид $x + y = c$.
Подставим значения $x=2$ и $y=5$:
$c = 2 + 5 = 7$
Таким образом, одно из возможных уравнений — это $x + y = 7$.
Проверим: подставив пару $(2; 5)$ в уравнение, получим $2 + 5 = 7$, что является верным равенством.
Ответ: $x + y = 7$.

б) Для пары чисел $(-3; 1)$ имеем $x = -3$ и $y = 1$.
Снова воспользуемся общим видом линейного уравнения $ax + by = c$. Выберем коэффициенты, например, $a=1$ и $b=1$. Тогда уравнение будет иметь вид $x + y = c$.
Подставим значения $x=-3$ и $y=1$, чтобы найти $c$:
$c = (-3) + 1 = -2$
Следовательно, уравнение имеет вид $x + y = -2$.
Проверка: $-3 + 1 = -2$. Равенство верное.
Ответ: $x + y = -2$.

в) Для пары чисел $(-7; -2)$ имеем $x = -7$ и $y = -2$.
Давайте для разнообразия выберем другие коэффициенты, например, $a=1$ и $b=-1$. Уравнение будет $x - y = c$.
Подставим значения $x=-7$ и $y=-2$ для нахождения $c$:
$c = (-7) - (-2) = -7 + 2 = -5$
Получаем уравнение $x - y = -5$.
Проверка: $-7 - (-2) = -5$. Равенство верное.
Ответ: $x - y = -5$.

г) Для пары чисел $(-4; 5)$ имеем $x = -4$ и $y = 5$.
Используем метод подбора коэффициентов. Например, можно выбрать $a=5$ и $b=4$. Тогда уравнение будет $5x + 4y = c$.
Вычислим $c$, подставив значения $x$ и $y$:
$c = 5 \cdot (-4) + 4 \cdot 5 = -20 + 20 = 0$
Таким образом, уравнение: $5x + 4y = 0$.
Проверка: $5 \cdot (-4) + 4 \cdot 5 = 0$. Равенство верное.
Ответ: $5x + 4y = 0$.

13.4 Найдите все пары натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению $x + y = 15$.

Требуется найти все пары натуральных чисел $(x, y)$, для которых выполняется равенство $x + y = 15$.

Натуральными числами называют целые положительные числа. Таким образом, переменные $x$ и $y$ должны удовлетворять условиям: $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Выразим одну переменную через другую из исходного уравнения. Например, выразим $y$:

$y = 15 - x$

Так как $y$ должно быть натуральным числом, то должно выполняться неравенство $y \ge 1$. Подставим в него полученное выражение для $y$:

$15 - x \ge 1$

Решим это неравенство относительно $x$:

$15 - 1 \ge x$

$14 \ge x$, что то же самое, что и $x \le 14$.

Мы знаем, что $x$ также является натуральным числом, то есть $x \ge 1$. Объединяя два условия для $x$, получаем, что $x$ может быть любым целым числом в диапазоне от 1 до 14 включительно.

Теперь мы можем последовательно найти все пары, перебирая возможные значения $x$ от 1 до 14 и вычисляя соответствующее значение $y$:

• Если $x=1$, то $y = 15 - 1 = 14$. Пара: $(1, 14)$.
• Если $x=2$, то $y = 15 - 2 = 13$. Пара: $(2, 13)$.
• Если $x=3$, то $y = 15 - 3 = 12$. Пара: $(3, 12)$.
• Если $x=4$, то $y = 15 - 4 = 11$. Пара: $(4, 11)$.
• Если $x=5$, то $y = 15 - 5 = 10$. Пара: $(5, 10)$.
• Если $x=6$, то $y = 15 - 6 = 9$. Пара: $(6, 9)$.
• Если $x=7$, то $y = 15 - 7 = 8$. Пара: $(7, 8)$.
• Если $x=8$, то $y = 15 - 8 = 7$. Пара: $(8, 7)$.
• Если $x=9$, то $y = 15 - 9 = 6$. Пара: $(9, 6)$.
• Если $x=10$, то $y = 15 - 10 = 5$. Пара: $(10, 5)$.
• Если $x=11$, то $y = 15 - 11 = 4$. Пара: $(11, 4)$.
• Если $x=12$, то $y = 15 - 12 = 3$. Пара: $(12, 3)$.
• Если $x=13$, то $y = 15 - 13 = 2$. Пара: $(13, 2)$.
• Если $x=14$, то $y = 15 - 14 = 1$. Пара: $(14, 1)$.

Если $x$ будет равно 15, то $y$ будет равно 0, что не является натуральным числом. Таким образом, мы нашли все возможные пары.

Ответ: (1, 14), (2, 13), (3, 12), (4, 11), (5, 10), (6, 9), (7, 8), (8, 7), (9, 6), (10, 5), (11, 4), (12, 3), (13, 2), (14, 1).

13.5 Является ли пара чисел (60; 30) решением системы уравнений:

a) $\begin{cases} 4x - 7y = 30, \\ 4x - 5y = 90; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x + 5y = 330, \\ 6x - 8y = 110? \end{cases}$

а) Чтобы проверить, является ли пара чисел (60; 30) решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x=60$ и $y=30$ в каждое уравнение системы. Если оба равенства окажутся верными, то пара является решением.
Исходная система:
$ \begin{cases} 4x - 7y = 30, \\ 4x - 5y = 90 \end{cases} $
1. Подставляем значения в первое уравнение:
$4 \cdot 60 - 7 \cdot 30 = 240 - 210 = 30$
$30 = 30$. Равенство верное.
2. Подставляем значения во второе уравнение:
$4 \cdot 60 - 5 \cdot 30 = 240 - 150 = 90$
$90 = 90$. Равенство верное.
Так как пара чисел (60; 30) удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.
Ответ: да, является.

б) Аналогично проверим вторую систему, подставив в нее значения $x=60$ и $y=30$.
Исходная система:
$ \begin{cases} 3x + 5y = 330, \\ 6x - 8y = 110 \end{cases} $
1. Подставляем значения в первое уравнение:
$3 \cdot 60 + 5 \cdot 30 = 180 + 150 = 330$
$330 = 330$. Равенство верное.
2. Подставляем значения во второе уравнение:
$6 \cdot 60 - 8 \cdot 30 = 360 - 240 = 120$
Получили $120$, а в уравнении правая часть равна $110$. Следовательно, $120 \neq 110$. Равенство неверное.
Так как пара чисел (60; 30) не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением всей системы.
Ответ: нет, не является.