Страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

1 Точки $A(4; 5)$ и $C(-2; -1)$ являются противоположными вершинами квадрата $ABCD$. Найдите координаты остальных вершин (они обозначены при обходе квадрата против хода часовой стрелки) и координату середины стороны $BC$.

Даны координаты противоположных вершин квадрата ABCD: $A(4; 5)$ и $C(-2; -1)$. Вершины обозначены при обходе квадрата против хода часовой стрелки.

Нахождение координат вершин B и D

В квадрате диагонали равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей является центром квадрата. Найдем координаты центра квадрата O как середины диагонали AC.

Формула середины отрезка: $O(x_O; y_O) = (\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2})$.

$x_O = \frac{4+(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_O = \frac{5+(-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, центр квадрата находится в точке $O(1; 2)$.

Теперь найдем вектор, идущий из центра квадрата к одной из известных вершин, например, к вершине C.

$\vec{OC} = (x_C - x_O; y_C - y_O) = (-2-1; -1-2) = (-3; -3)$.

Вектор $\vec{OB}$ можно получить, повернув вектор $\vec{OC}$ на 90° против часовой стрелки, так как по условию обход вершин A-B-C-D идет против часовой стрелки. При повороте вектора $(x; y)$ на 90° против часовой стрелки его новые координаты становятся $(-y; x)$.

Применим это правило к вектору $\vec{OC}(-3; -3)$:

$\vec{OB} = (-(-3); -3) = (3; -3)$.

Координаты точки B найдем, прибавив к координатам центра O координаты вектора $\vec{OB}$:

$B(x_O + x_{\vec{OB}}; y_O + y_{\vec{OB}}) = (1+3; 2-3) = (4; -1)$.

Аналогично, вектор $\vec{OD}$ можно получить, повернув вектор $\vec{OC}$ на 90° по часовой стрелке, или просто заметив, что вектор $\vec{OD}$ противоположен вектору $\vec{OB}$ относительно центра O. Следовательно, $\vec{OD} = -\vec{OB}$.

$\vec{OD} = -(3; -3) = (-3; 3)$.

Координаты точки D:

$D(x_O + x_{\vec{OD}}; y_O + y_{\vec{OD}}) = (1-3; 2+3) = (-2; 5)$.

Ответ: $B(4; -1)$, $D(-2; 5)$.

Нахождение координат середины стороны BC

Найдем координаты середины стороны BC, зная координаты вершин $B(4; -1)$ и $C(-2; -1)$. Обозначим середину как точку M.

Формула середины отрезка: $M(x_M; y_M) = (\frac{x_B+x_C}{2}; \frac{y_B+y_C}{2})$.

$x_M = \frac{4+(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{-1+(-1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: Координаты середины стороны BC: $(1; -1)$.

2 Найдите координаты точек, в которых прямая MN, где $M(2; 4)$ и $N(5; -2)$, пересекает координатные оси.

Для того чтобы найти координаты точек, в которых прямая MN пересекает координатные оси, необходимо сначала составить уравнение этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$, можно найти по формуле:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $M(2; 4)$ и $N(5; -2)$ в эту формулу:

$\frac{x - 2}{5 - 2} = \frac{y - 4}{-2 - 4}$

$\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 4}{-6}$

Теперь преобразуем полученное уравнение к общему виду $y = kx + b$. Для этого выразим $y$ из пропорции:

$-6(x - 2) = 3(y - 4)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$-2(x - 2) = y - 4$

$-2x + 4 = y - 4$

$y = -2x + 8$

Мы получили уравнение прямой MN. Теперь найдем точки ее пересечения с осями координат.

Пересечение с осью ординат (осью OY)
Прямая пересекает ось OY в точке, у которой координата $x$ равна нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение прямой:

$y = -2 \cdot 0 + 8 = 8$

Следовательно, точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0; 8)$.
Ответ: (0; 8)

Пересечение с осью абсцисс (осью OX)
Прямая пересекает ось OX в точке, у которой координата $y$ равна нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение прямой:

$0 = -2x + 8$

$2x = 8$

$x = 4$

Следовательно, точка пересечения с осью OX имеет координаты $(4; 0)$.
Ответ: (4; 0)

3 Найдите линейную функцию $y = 2x + m$, если известно, что её график проходит через точку $A(-1; 5)$.

Для того чтобы найти искомую линейную функцию, необходимо определить значение параметра $m$ в уравнении $y = 2x + m$.

По условию задачи, график этой функции проходит через точку $A(-1; 5)$. Это означает, что координаты данной точки удовлетворяют уравнению функции. То есть, если мы подставим в уравнение значение $x = -1$, то значение $y$ должно быть равно $5$.

Подставим координаты точки $A(x, y)$, где $x = -1$ и $y = 5$, в уравнение функции:
$5 = 2 \cdot (-1) + m$

Теперь решим полученное уравнение относительно $m$:
$5 = -2 + m$

Чтобы найти $m$, перенесем число $-2$ в левую часть уравнения, поменяв его знак на противоположный:
$m = 5 + 2$
$m = 7$

Теперь, когда мы нашли значение $m=7$, мы можем записать полное уравнение линейной функции, подставив это значение в исходную формулу:
$y = 2x + 7$

Ответ: $y = 2x + 7$

4 Постройте график линейной функции $y = -2x + 3$ и с его помощью решите неравенство $-2x + 3 \ge 1$.

Построение графика линейной функции y = -2x + 3

Функция $y = -2x + 3$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек.

1. Найдем точку пересечения с осью OY. Для этого примем $x = 0$:
$y = -2 \cdot 0 + 3 = 3$
Получили первую точку: $(0; 3)$.

2. Найдем еще одну точку, приняв, например, $x = 2$:
$y = -2 \cdot 2 + 3 = -4 + 3 = -1$
Получили вторую точку: $(2; -1)$.

Теперь отметим эти две точки на координатной плоскости и проведем через них прямую. Это и будет график функции $y = -2x + 3$.

Ответ: График функции $y = -2x + 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(2; -1)$.

Решение неравенства -2x + 3 ≥ 1 с помощью графика

Чтобы решить неравенство $-2x + 3 \ge 1$ графически, нужно найти все значения $x$, при которых график функции $y = -2x + 3$ находится на уровне или выше прямой $y = 1$.

1. Построим в той же системе координат прямую $y = 1$. Это горизонтальная линия, проходящая через точку $(0; 1)$ параллельно оси OX.

2. Найдем точку пересечения графиков $y = -2x + 3$ и $y = 1$. Для этого приравняем их правые части:
$-2x + 3 = 1$
$-2x = 1 - 3$
$-2x = -2$
$x = 1$
Точка пересечения имеет координаты $(1; 1)$.

3. По графику видно, что прямая $y = -2x + 3$ находится выше прямой $y = 1$ (то есть значения $y$ больше 1) для всех $x$, которые лежат левее точки пересечения. В самой точке пересечения ($x=1$) значения функций равны.

Таким образом, неравенство $-2x + 3 \ge 1$ выполняется при всех $x$, меньших или равных 1.

Ответ: $x \le 1$, или $x \in (-\infty; 1]$.

5 Найдите координаты точек пересечения графика линейной функции $y = 1.2x - 5.7$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика линейной функции с осями координат, необходимо поочередно приравнять к нулю координаты $x$ и $y$.

Пересечение с осью ординат (осью OY)

Точка пересечения с осью ординат имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение функции $y = 1.2x - 5.7$:

$y = 1.2 \cdot 0 - 5.7$

$y = 0 - 5.7$

$y = -5.7$

Таким образом, координаты точки пересечения графика с осью OY равны $(0; -5.7)$.

Ответ: $(0; -5.7)$

Пересечение с осью абсцисс (осью OX)

Точка пересечения с осью абсцисс имеет ординату (координату $y$) равную нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение функции и решим полученное уравнение относительно $x$:

$0 = 1.2x - 5.7$

Перенесем $5.7$ в левую часть уравнения (с противоположным знаком), чтобы выразить слагаемое с $x$:

$1.2x = 5.7$

Найдем $x$, разделив $5.7$ на $1.2$:

$x = \frac{5.7}{1.2}$

Для удобства вычислений, избавимся от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножив их на 10:

$x = \frac{57}{12}$

Сократим полученную дробь на 3:

$x = \frac{19}{4}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$x = 4.75$

Таким образом, координаты точки пересечения графика с осью OX равны $(4.75; 0)$.

Ответ: $(4.75; 0)$

6 На графике линейной функции $y = \frac{1}{2}x + 2\frac{3}{4}$ найдите точку, абсцисса и ордината которой — противоположные числа.

Для решения этой задачи необходимо найти точку $(x; y)$, которая одновременно принадлежит графику функции $y = \frac{1}{2}x + 2\frac{3}{4}$ и удовлетворяет условию, что ее координаты — противоположные числа.

Условие о противоположности координат означает, что $y = -x$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 2\frac{3}{4} \\ y = -x \end{cases} $$

Мы можем решить эту систему, подставив выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $$ -x = \frac{1}{2}x + 2\frac{3}{4} $$

Преобразуем смешанную дробь $2\frac{3}{4}$ в неправильную для удобства вычислений: $$ 2\frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4} $$

Подставим это значение обратно в уравнение: $$ -x = \frac{1}{2}x + \frac{11}{4} $$

Соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения: $$ -x - \frac{1}{2}x = \frac{11}{4} $$

Выполним вычитание в левой части: $$ -\frac{2}{2}x - \frac{1}{2}x = \frac{11}{4} $$ $$ -\frac{3}{2}x = \frac{11}{4} $$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на обратную дробь к коэффициенту при $x$, то есть на $-\frac{2}{3}$: $$ x = \frac{11}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) $$ $$ x = -\frac{11 \cdot 2}{4 \cdot 3} = -\frac{22}{12} $$

Сократим полученную дробь: $$ x = -\frac{11}{6} $$

Теперь, зная абсциссу $x$, найдем ординату $y$ из условия $y = -x$: $$ y = - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{11}{6} $$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $\left(-\frac{11}{6}; \frac{11}{6}\right)$.

Ответ: $\left(-\frac{11}{6}; \frac{11}{6}\right)$.

7 Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и точку $M(2,5; 4)$. Найдите точку пересечения этого графика с прямой $3x - 2y - 1 = 0$.

Задание формулы линейной функции
Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$.
Поскольку график функции проходит через начало координат, точку $(0; 0)$, то при подстановке этих значений в формулу получаем:
$0 = k \cdot 0 + b$
Отсюда следует, что $b = 0$.
Таким образом, уравнение функции имеет вид $y = kx$.
Известно, что график также проходит через точку $M(2,5; 4)$. Подставим координаты этой точки в уравнение $y = kx$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$4 = k \cdot 2,5$
$k = \frac{4}{2,5} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5} = 1,6$
Следовательно, искомая формула линейной функции: $y = 1,6x$.
Ответ: $y = 1,6x$.

Нахождение точки пересечения графиков
Чтобы найти точку пересечения графика функции $y = 1,6x$ и прямой $3x - 2y - 1 = 0$, нужно решить систему из этих двух уравнений:
$\begin{cases} y = 1,6x \\ 3x - 2y - 1 = 0 \end{cases}$
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$3x - 2(1,6x) - 1 = 0$
$3x - 3,2x - 1 = 0$
$-0,2x - 1 = 0$
$-0,2x = 1$
$x = \frac{1}{-0,2} = -5$
Теперь, зная $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -5$ в первое уравнение:
$y = 1,6 \cdot (-5) = -8$
Следовательно, координаты точки пересечения двух графиков равны $(-5; -8)$.
Ответ: $(-5; -8)$.

8 Найдите точку пересечения графиков линейных функций $y = -2x + 4$ и $y = 3x - 4$.

Чтобы найти точку пересечения графиков двух линейных функций, необходимо найти такие значения координат x и y, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям. В точке пересечения значения y для обеих функций равны, поэтому мы можем приравнять правые части данных уравнений.

Даны функции:

$y = -2x + 4$

$y = 3x - 4$

Приравниваем выражения для y:

$-2x + 4 = 3x - 4$

Теперь решим полученное уравнение относительно x. Перенесем слагаемые, содержащие x, в правую часть уравнения, а числовые слагаемые — в левую:

$4 + 4 = 3x + 2x$

$8 = 5x$

Отсюда находим значение x:

$x = \frac{8}{5} = 1.6$

Мы нашли абсциссу (координату x) точки пересечения. Для того чтобы найти ординату (координату y), подставим найденное значение x в любое из исходных уравнений. Подставим, например, в первое уравнение:

$y = -2x + 4$

$y = -2 \cdot (1.6) + 4$

$y = -3.2 + 4$

$y = 0.8$

Для проверки правильности решения можно подставить значение x = 1.6 и во второе уравнение:

$y = 3x - 4$

$y = 3 \cdot (1.6) - 4$

$y = 4.8 - 4$

$y = 0.8$

Значения y совпали, значит, координаты точки пересечения найдены верно. Координаты точки пересечения — $(1.6; 0.8)$.

Ответ: $(1.6; 0.8)$

9. Для двух линейных функций $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ подберите такие коэффициенты $k_1$, $k_2$, $b_1$, $b_2$, чтобы их графики пересекались в первом координатном угле и одна из функций была бы убывающей, а вторая возрастающей.

Для решения задачи необходимо подобрать коэффициенты для двух линейных функций $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ так, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Одна функция является возрастающей, а вторая — убывающей.
2. Графики этих функций пересекаются в первом координатном угле (I квадранте).

Шаг 1: Анализ условия возрастания и убывания функций.

Линейная функция $y = kx + b$ является возрастающей, если её угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$).

Линейная функция является убывающей, если её угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$).

Пусть функция $y = k_1x + b_1$ будет возрастающей, а $y = k_2x + b_2$ — убывающей. Для этого необходимо выбрать коэффициенты $k_1$ и $k_2$ так, чтобы:

$k_1 > 0$ и $k_2 < 0$.

Например, выберем $k_1 = 1$ и $k_2 = -2$.

Шаг 2: Анализ условия пересечения в первом координатном угле.

Первый координатный угол — это область, где обе координаты, абсцисса ($x$) и ордината ($y$), положительны. Если точка пересечения $(x_0, y_0)$, то должно выполняться $x_0 > 0$ и $y_0 > 0$.

Найдем абсциссу точки пересечения $x_0$, приравняв выражения для $y$:

$k_1x_0 + b_1 = k_2x_0 + b_2$

Перенесем слагаемые с $x_0$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$k_1x_0 - k_2x_0 = b_2 - b_1$

$x_0(k_1 - k_2) = b_2 - b_1$

Отсюда, $x_0 = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$

Поскольку мы выбрали $k_1 > 0$ и $k_2 < 0$, знаменатель $k_1 - k_2$ будет разностью положительного и отрицательного числа, что всегда дает положительное число. В нашем примере $k_1 - k_2 = 1 - (-2) = 3 > 0$.

Чтобы $x_0$ был положителен ($x_0 > 0$), необходимо, чтобы числитель также был положителен:

$b_2 - b_1 > 0 \implies b_2 > b_1$

Теперь найдем ординату точки пересечения $y_0$, подставив $x_0$ в уравнение одной из функций, например, первой:

$y_0 = k_1x_0 + b_1$

Для того чтобы точка пересечения была в первом квадранте, должно выполняться условие $y_0 > 0$.

$k_1x_0 + b_1 > 0$

Шаг 3: Подбор конкретных коэффициентов и проверка.

Соберем все условия вместе:

1. $k_1 > 0$
2. $k_2 < 0$
3. $b_2 > b_1$
4. $y_0 > 0$ (где $y_0$ - ордината точки пересечения)

Давайте подберем простые целые числа, удовлетворяющие этим условиям.

1. Мы уже выбрали $k_1 = 1$ и $k_2 = -2$.

2. Теперь выберем $b_1$ и $b_2$ так, чтобы $b_2 > b_1$. Пусть, например, $b_1 = 2$ и $b_2 = 5$. Условие $5 > 2$ выполняется.

Таким образом, мы получили две функции:

• Возрастающая функция: $y = x + 2$ (здесь $k_1=1, b_1=2$)
• Убывающая функция: $y = -2x + 5$ (здесь $k_2=-2, b_2=5$)

3. Проверим, где находится их точка пересечения. Найдем ее координаты:

$x + 2 = -2x + 5$

$3x = 3$

$x_0 = 1$

Подставим найденное значение $x_0$ в первое уравнение:

$y_0 = 1 + 2 = 3$

Точка пересечения — $(1, 3)$.

Поскольку $x_0 = 1 > 0$ и $y_0 = 3 > 0$, точка пересечения находится в первом координатном угле. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Один из возможных наборов коэффициентов: $k_1 = 1$, $b_1 = 2$ для возрастающей функции $y = x + 2$ и $k_2 = -2$, $b_2 = 5$ для убывающей функции $y = -2x + 5$.

10 Составьте упорядоченный ряд из координат вершин квадрата $ABCD$ из задания 1 и координат середины диагонали $AC$. Найдите медиану этого ряда.

Для решения этой задачи необходимо использовать координаты вершин квадрата ABCD из задания 1. Поскольку эти данные в вопросе не предоставлены, для демонстрации решения примем, что вершины квадрата имеют следующие координаты: A(2; 1), B(6; 1), C(6; 5) и D(2; 5).

1. Нахождение полного набора координат

Вначале соберем все числовые значения координат вершин квадрата в один набор.Координаты вершин A, B, C, D: (2; 1), (6; 1), (6; 5), (2; 5).Соответствующий набор чисел: {2, 1, 6, 1, 6, 5, 2, 5}.

Далее найдем координаты середины диагонали AC. Обозначим эту точку как O. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам как среднее арифметическое координат его концов:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим значения для точек A(2; 1) и C(6; 5):

$x_O = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_O = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Координаты середины диагонали O(4; 3). Добавляем числа 4 и 3 к нашему набору.

Таким образом, общий набор всех координат, из которых мы будем составлять ряд: {2, 1, 6, 1, 6, 5, 2, 5, 4, 3}.

2. Составление упорядоченного ряда

Теперь составим упорядоченный ряд, для чего расположим все числа из полученного набора в порядке возрастания.Исходный набор: {2, 1, 6, 1, 6, 5, 2, 5, 4, 3}.Упорядоченный по возрастанию ряд выглядит следующим образом:1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6.

3. Нахождение медианы ряда

Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного набора данных. Наш ряд содержит 10 элементов (четное число). Для набора с четным количеством элементов медиана вычисляется как среднее арифметическое двух элементов, стоящих в центре.Центральные элементы находятся на позициях $n/2$ и $n/2 + 1$, где $n$ — общее количество элементов в ряду.

В нашем случае $n = 10$. Следовательно, нам нужны элементы на 5-й ($10/2=5$) и 6-й ($10/2 + 1 = 6$) позициях.Наш упорядоченный ряд: 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6.Пятый элемент ряда — 3.Шестой элемент ряда — 4.

Вычисляем среднее арифметическое этих двух значений, чтобы найти медиану:

Медиана = $\frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$.

Ответ: Упорядоченный ряд: 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6. Медиана этого ряда равна 3,5.