Страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

10.16 На рис. 16 изображены графики функций $y = 3x$, $y = -3x$, $y = x + 3$. Укажите, какая формула соответствует тому или иному графику.

Рис. 16

Чтобы определить, какая формула соответствует каждому графику, проанализируем свойства данных линейных функций и их графиков на рисунке. Все три функции являются линейными, их общий вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (отвечает за наклон прямой), а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Основные свойства, которые мы будем использовать:

1. Если угловой коэффициент $k > 0$, то график функции возрастает (линия идет вверх при движении слева направо).

2. Если $k < 0$, то график функции убывает (линия идет вниз при движении слева направо).

3. Коэффициент $b$ показывает, в какой точке график пересекает ось $y$. Пересечение происходит в точке с координатами $(0, b)$. Если $b=0$, то график проходит через начало координат.

Рассмотрим каждый график на рисунке 16.

График I

Данный график представляет собой прямую, проходящую через начало координат, точку $(0, 0)$. Это означает, что для этой функции коэффициент $b = 0$, и ее формула имеет вид $y = kx$. График является возрастающим, так как он идет вверх слева направо. Следовательно, его угловой коэффициент $k$ должен быть положительным ($k > 0$). Из предложенных формул ($y = 3x$, $y = -3x$, $y = x + 3$) два графика проходят через начало координат: $y = 3x$ и $y = -3x$. Условию $k > 0$ удовлетворяет только $y = 3x$. Проверим это, взяв на графике I точку с координатами $(1, 3)$. Подставив в уравнение, получим: $3 = 3 \cdot 1$, что является верным равенством.

Ответ: График I соответствует формуле $y = 3x$.

График II

Этот график является прямой, которая пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$. Это означает, что для этой функции коэффициент $b = 3$. График также является возрастающим ($k > 0$). Из предложенных формул только одна имеет $b = 3$ — это формула $y = x + 3$. Угловой коэффициент в этой формуле $k = 1$, что больше нуля, и это соответствует возрастающему графику. Для проверки найдем точку пересечения графика с осью $x$. По графику это точка $(-3, 0)$. Подставим ее координаты в формулу: $0 = -3 + 3$, что является верным равенством.

Ответ: График II соответствует формуле $y = x + 3$.

График III

Этот график, как и график I, проходит через начало координат $(0, 0)$, следовательно, $b = 0$. Формула имеет вид $y = kx$. Однако, в отличие от графика I, этот график является убывающим, так как идет вниз слева направо. Это значит, что его угловой коэффициент $k$ должен быть отрицательным ($k < 0$). Из всех предложенных формул этому условию соответствует только $y = -3x$. Проверим по точке. График III проходит через точку $(1, -3)$. Подставим эти координаты в уравнение: $-3 = -3 \cdot 1$. Равенство верное.

Ответ: График III соответствует формуле $y = -3x$.

10.17 Выясните, корректно ли задание: найти точку пересечения указанных прямых. Если задание корректно, то выполните его.

а) $y = 2x$, $y = 2x - 3$;

б) $y = 3x$, $y = 2x - 1$;

в) $y = 5 - x$, $y = -x$;

г) $y = 4$, $y = x + 3$.

а) $y = 2x, y = 2x - 3$

Две прямые, заданные уравнениями вида $y = kx + b$, пересекаются, если их угловые коэффициенты $k$ различны. Если угловые коэффициенты равны, а свободные члены $b$ различны, то прямые параллельны и не имеют точек пересечения.

В данном случае для прямой $y = 2x$ угловой коэффициент $k_1 = 2$. Для прямой $y = 2x - 3$ угловой коэффициент $k_2 = 2$.

Поскольку $k_1 = k_2 = 2$, данные прямые параллельны. Следовательно, они не пересекаются, и найти их точку пересечения невозможно.

Если мы попытаемся решить систему уравнений, приравняв правые части, то получим: $2x = 2x - 3$ $0 = -3$

Это неверное равенство, что подтверждает отсутствие решений. Задание некорректно.

Ответ: Задание некорректно, так как прямые параллельны и не пересекаются.

б) $y = 3x, y = 2x - 1$

Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 3$. Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = 2$.

Поскольку угловые коэффициенты различны ($3 \neq 2$), прямые пересекаются в одной точке. Задание корректно.

Чтобы найти координаты точки пересечения, приравняем правые части уравнений: $3x = 2x - 1$

Решим это уравнение относительно $x$: $3x - 2x = -1$ $x = -1$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое: $y = 3x = 3 \cdot (-1) = -3$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-1, -3)$.

Ответ: Задание корректно. Точка пересечения: $(-1, -3)$.

в) $y = 5 - x, y = -x$

Перепишем первое уравнение в стандартном виде: $y = -x + 5$.

Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = -1$. Угловой коэффициент второй прямой $y = -x$ также $k_2 = -1$.

Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 = 5$, $b_2 = 0$), прямые параллельны и не пересекаются.

Попытка решить систему приводит к неверному равенству: $5 - x = -x$ $5 = 0$

Задание некорректно.

Ответ: Задание некорректно, так как прямые параллельны и не пересекаются.

г) $y = 4, y = x + 3$

Первая прямая $y = 4$ — это горизонтальная линия, ее угловой коэффициент $k_1 = 0$.

Вторая прямая $y = x + 3$ имеет угловой коэффициент $k_2 = 1$.

Угловые коэффициенты различны ($0 \neq 1$), значит, прямые пересекаются. Задание корректно.

Для нахождения точки пересечения приравняем правые части уравнений: $4 = x + 3$

Найдем $x$: $x = 4 - 3$ $x = 1$

Значение $y$ уже известно из первого уравнения: $y = 4$.

Координаты точки пересечения: $(1, 4)$.

Ответ: Задание корректно. Точка пересечения: $(1, 4)$.