Страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

10.14 Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен:

а) на рис. 8;

б) на рис. 9;

в) на рис. 10;

г) на рис. 11.

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Чтобы задать линейную функцию формулой, нужно определить её уравнение вида $y = kx + b$. Для этого необходимо найти угловой коэффициент $k$ и свободный член $b$ (ординату точки пересечения с осью $y$).

а) на рис. 8

1. Находим коэффициент $b$. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Следовательно, $b = 0$. Уравнение имеет вид $y = kx$.

2. Находим коэффициент $k$. Для этого выберем на графике точку с известными целочисленными координатами, например, точку $(1, 2)$. Подставим её координаты в уравнение:

$2 = k \cdot 1$

Отсюда $k = 2$.

3. Записываем формулу. Подставляя найденные значения $k$ и $b$, получаем уравнение $y = 2x$.

Ответ: $y = 2x$

б) на рис. 9

1. Находим коэффициент $b$. График также проходит через начало координат $(0, 0)$, поэтому $b = 0$. Уравнение имеет вид $y = kx$.

2. Находим коэффициент $k$. Выберем на графике точку, например, $(3, -3)$. Подставим её координаты в уравнение:

$-3 = k \cdot 3$

$k = \frac{-3}{3} = -1$

3. Записываем формулу. Итоговая формула функции: $y = -x$.

Ответ: $y = -x$

в) на рис. 10

1. Находим коэффициенты $k$ и $b$. Точка пересечения с осью $y$ не является целочисленной, поэтому найдем коэффициенты, используя две точки на графике с целочисленными координатами. Возьмем точки $A(-5, 0)$ и $B(5, 1)$.

2. Находим коэффициент $k$ по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:

$k = \frac{1 - 0}{5 - (-5)} = \frac{1}{10}$

3. Находим коэффициент $b$. Теперь уравнение имеет вид $y = \frac{1}{10}x + b$. Подставим координаты точки $B(5, 1)$ в это уравнение:

$1 = \frac{1}{10} \cdot 5 + b$

$1 = \frac{1}{2} + b$

$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

4. Записываем формулу. Получаем уравнение $y = \frac{1}{10}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = \frac{1}{10}x + \frac{1}{2}$

г) на рис. 11

1. Находим коэффициент $b$. График пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$. Следовательно, $b = -1$. Уравнение имеет вид $y = kx - 1$.

2. Находим коэффициент $k$. Выберем на графике точку, например, $(1, -3)$. Подставим её координаты в уравнение:

$-3 = k \cdot 1 - 1$

$-3 + 1 = k$

$k = -2$

3. Записываем формулу. Подставляя найденные значения $k$ и $b$, получаем уравнение $y = -2x - 1$.

Ответ: $y = -2x - 1$

10.15 Определите знаки коэффициентов $k$ и $m$, если известно, что график линейной функции $y = kx + m$ изображён:

а) на рис. 12;

б) на рис. 13;

в) на рис. 14;

г) на рис. 15.

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Для определения знаков коэффициентов в уравнении линейной функции $y = kx + m$ необходимо проанализировать каждый график. Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой: если функция возрастает (линия идет вверх слева направо), то $k > 0$; если функция убывает (линия идет вниз слева направо), то $k < 0$. Коэффициент $m$ (свободный член) — это ордината точки пересечения графика с осью $y$: если точка пересечения находится выше оси $x$, то $m > 0$; если ниже оси $x$, то $m < 0$.

а) на рис. 12
График функции является возрастающим (линия направлена вверх), следовательно, угловой коэффициент положителен: $k > 0$.
График пересекает ось ординат ($y$) в точке $(0; 2)$, которая находится выше оси абсцисс ($x$). Следовательно, свободный член положителен: $m > 0$.
Ответ: $k > 0, m > 0$.

б) на рис. 13
График функции является возрастающим, значит, $k > 0$.
График пересекает ось $y$ в точке $(0; -1)$, которая находится ниже оси $x$. Следовательно, $m < 0$.
Ответ: $k > 0, m < 0$.

в) на рис. 14
График функции является убывающим (линия направлена вниз), следовательно, угловой коэффициент отрицателен: $k < 0$.
График пересекает ось $y$ в точке $(0; 2)$, которая находится выше оси $x$. Следовательно, $m > 0$.
Ответ: $k < 0, m > 0$.

г) на рис. 15
График функции является убывающим, значит, $k < 0$.
График пересекает ось $y$ в точке, расположенной выше оси $x$ (её ордината положительна). Следовательно, $m > 0$.
Ответ: $k < 0, m > 0$.