Номер 10.13, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции:

10.13 а) $y = -\frac{3}{4}x$, если $x \in [-4; 4];$

б) $y = -\frac{3}{4}x$, если $x \in (0; +\infty);$

в) $y = -\frac{3}{4}x$, если $x \in [-4; +\infty);$

г) $y = -\frac{3}{4}x$, если $x \in (0; 4].$

Заданная функция $y = -\frac{3}{4}x$ является линейной. Её угловой коэффициент $k = -\frac{3}{4}$ отрицателен, следовательно, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Таким образом, для нахождения наибольшего значения функции нужно использовать наименьшее возможное значение $x$, а для нахождения наименьшего значения функции — наибольшее возможное значение $x$ из заданного промежутка.

а) $y = -\frac{3}{4}x$, если $x \in [-4; 4]$
Промежуток для $x$ — это замкнутый отрезок $[-4; 4]$. Поскольку функция монотонно убывает, свои наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах этого отрезка.
Наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) достигается при наименьшем значении $x = -4$:
$y_{наиб} = y(-4) = -\frac{3}{4} \cdot (-4) = 3$.
Наименьшее значение функции ($y_{наим}$) достигается при наибольшем значении $x = 4$:
$y_{наим} = y(4) = -\frac{3}{4} \cdot 4 = -3$.
Ответ: наименьшее значение равно -3, наибольшее значение равно 3.

б) $y = -\frac{3}{4}x$, если $x \in (0; +\infty)$
Промежуток для $x$ — это открытый луч $(0; +\infty)$.
При $x$, стремящемся к $+\infty$, значение функции $y = -\frac{3}{4}x$ неограниченно убывает (стремится к $-\infty$). Следовательно, наименьшего значения не существует.
При $x$, стремящемся к $0$ (справа), значение $y$ стремится к $0$. Однако точка $x=0$ не принадлежит интервалу, и значения $y$ всегда меньше нуля. Поэтому значение $0$ не достигается, и наибольшего значения не существует.
Ответ: ни наименьшего, ни наибольшего значения не существует.

в) $y = -\frac{3}{4}x$, если $x \in [-4; +\infty)$
Промежуток для $x$ — это луч $[-4; +\infty)$.
Наименьшее значение аргумента $x=-4$ принадлежит промежутку. В этой точке убывающая функция достигает своего наибольшего значения:
$y_{наиб} = y(-4) = -\frac{3}{4} \cdot (-4) = 3$.
При $x$, стремящемся к $+\infty$, значение $y$ неограниченно убывает, поэтому наименьшего значения не существует.
Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшего значения не существует.

г) $y = -\frac{3}{4}x$, если $x \in (0; 4]$
Промежуток для $x$ — это полуинтервал $(0; 4]$.
Наибольшее значение аргумента $x=4$ принадлежит промежутку. В этой точке убывающая функция достигает своего наименьшего значения:
$y_{наим} = y(4) = -\frac{3}{4} \cdot 4 = -3$.
При $x$, стремящемся к $0$ (справа), значение $y$ стремится к $0$. Точка $x=0$ не принадлежит промежутку, поэтому значение $0$ не достигается, и наибольшего значения не существует.
Ответ: наименьшее значение равно -3, наибольшего значения не существует.