Номер 10.11, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 10. Линейная функция y=kx. Глава 2. Линейная функция. Часть 2 - номер 10.11, страница 56.

Условие.

Найдите наименьшее и наибольшее значения линейной функции:

10.11 а) $y = -2x$ на полуинтервале $[-2; 2)$;

б) $y = -2x$ на луче $[0; +\infty)$;

в) $y = -2x$ на луче $(-\infty; 1]$;

г) $y = -2x$ на полуинтервале $(-1; 0]$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений линейной функции $y = -2x$ на различных промежутках, проанализируем её свойства. Это линейная функция, график которой — прямая. Угловой коэффициент $k = -2$ отрицательный, что означает, что функция является монотонно убывающей на всей числовой оси. Это значит, что при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается, и наоборот, при уменьшении $x$ значение $y$ увеличивается. Следовательно, наибольшее значение (если оно существует) функция будет принимать в наименьшей точке заданного промежутка, а наименьшее значение (если оно существует) — в наибольшей точке промежутка.

а) y = -2x на полуинтервале [-2; 2)

Промежуток для $x$ задан как $[-2; 2)$, то есть $x$ принимает значения от -2 (включительно) до 2 (не включительно).

• Наибольшее значение функция примет при наименьшем значении $x$ из промежутка. Наименьшее значение $x = -2$ входит в промежуток.
  $y_{наиб} = y(-2) = -2 \cdot (-2) = 4$.
• Наименьшее значение функция должна была бы принять при наибольшем значении $x$. Однако, значение $x = 2$ не входит в промежуток. При $x$, стремящемся к 2, значение $y$ стремится к $y(2) = -2 \cdot 2 = -4$. Поскольку $x$ никогда не достигает 2, то и $y$ никогда не достигает -4. Таким образом, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 4$, наименьшего значения не существует.

б) y = -2x на луче [0; +∞)

Промежуток для $x$ задан как $[0; +∞)$, то есть $x$ принимает все значения, большие или равные 0.

• Наибольшее значение функция примет при наименьшем значении $x$ из промежутка. Наименьшее значение $x = 0$ входит в промежуток.
  $y_{наиб} = y(0) = -2 \cdot 0 = 0$.
• Поскольку $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции $y = -2x$ будет неограниченно убывать ($y \to -\infty$). Следовательно, наименьшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 0$, наименьшего значения не существует.

в) y = -2x на луче (–∞; 1]

Промежуток для $x$ задан как $(–∞; 1]$, то есть $x$ принимает все значения, меньшие или равные 1.

• Наименьшее значение функция примет при наибольшем значении $x$ из промежутка. Наибольшее значение $x = 1$ входит в промежуток.
  $y_{наим} = y(1) = -2 \cdot 1 = -2$.
• Поскольку $x$ может неограниченно убывать ($x \to –\infty$), значение функции $y = -2x$ будет неограниченно возрастать ($y \to +\infty$). Следовательно, наибольшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -2$, наибольшего значения не существует.

г) y = -2x на полуинтервале (–1; 0]

Промежуток для $x$ задан как $(–1; 0]$, то есть $x$ принимает значения от -1 (не включительно) до 0 (включительно).

• Наименьшее значение функция примет при наибольшем значении $x$ из промежутка. Наибольшее значение $x = 0$ входит в промежуток.
  $y_{наим} = y(0) = -2 \cdot 0 = 0$.
• Наибольшее значение функция должна была бы принять при наименьшем значении $x$. Однако, значение $x = -1$ не входит в промежуток. При $x$, стремящемся к -1, значение $y$ стремится к $y(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$. Поскольку $x$ никогда не достигает -1, то и $y$ никогда не достигает 2. Таким образом, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшего значения не существует.