Номер 10.12, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 2. Линейная функция. Параграф 10. Линейная функция y=kx - номер 10.12, страница 56.

Условие.

Найдите наименьшее и наибольшее значение линейной функции:

10.12 а) $y = 0,4x$, если $x \in [0; 5];$

б) $y = 0,4x$, если $x \in [-5; +\infty);$

в) $y = 0,4x$, если $x \in (-\infty; 0];$

г) $y = 0,4x$, если $x \in (-5; 5).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо проанализировать поведение линейной функции $y = 0,4x$ на заданных промежутках.

Линейная функция вида $y = kx + b$ является возрастающей, если ее угловой коэффициент $k > 0$, и убывающей, если $k < 0$. В нашем случае функция $y = 0,4x$, ее коэффициент $k = 0,4$. Так как $0,4 > 0$, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$.

а) $y = 0,4x$, если $x \in [0; 5]$

Заданный промежуток $[0; 5]$ является замкнутым отрезком. Поскольку функция возрастающая, свое наименьшее значение она принимает в левой границе отрезка (при наименьшем $x$), а наибольшее — в правой границе (при наибольшем $x$).

Наименьшее значение функции достигается при $x=0$:
$y_{наим} = 0,4 \times 0 = 0$

Наибольшее значение функции достигается при $x=5$:
$y_{наиб} = 0,4 \times 5 = 2$

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

б) $y = 0,4x$, если $x \in [-5; +\infty)$

Заданный промежуток $[-5; +\infty)$ является лучом, который включает точку $x=-5$ и уходит в положительную бесконечность. Так как функция возрастающая, ее наименьшее значение на этом промежутке будет в самой левой точке, то есть при $x=-5$.

Наименьшее значение функции достигается при $x=-5$:
$y_{наим} = 0,4 \times (-5) = -2$

Поскольку аргумент $x$ может принимать сколь угодно большие значения ($x \to +\infty$), значение функции $y$ также будет неограниченно возрастать. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшего значения не существует.

в) $y = 0,4x$, если $x \in (-\infty; 0]$

Заданный промежуток $(-\infty; 0]$ является лучом, который уходит в отрицательную бесконечность и включает точку $x=0$. Так как функция возрастающая, ее наибольшее значение на этом промежутке будет в самой правой точке, то есть при $x=0$.

Наибольшее значение функции достигается при $x=0$:
$y_{наиб} = 0,4 \times 0 = 0$

Поскольку аргумент $x$ может принимать сколь угодно малые значения ($x \to -\infty$), значение функции $y$ также будет неограниченно убывать. Следовательно, наименьшего значения у функции на данном промежутке не существует.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшего значения не существует.

г) $y = 0,4x$, если $x \in (-5; 5)$

Заданный промежуток $(-5; 5)$ является открытым интервалом. Это означает, что граничные точки $x=-5$ и $x=5$ не принадлежат этому промежутку.

Поскольку функция возрастающая, значения $y$ будут находиться в интервале $(y(-5); y(5))$, то есть $y \in (0,4 \times (-5); 0,4 \times 5)$, что соответствует интервалу $y \in (-2; 2)$.

Функция может принимать значения, сколь угодно близкие к -2 (когда $x$ стремится к -5), но никогда не достигнет этого значения. Аналогично, значения функции могут быть сколь угодно близки к 2 (когда $x$ стремится к 5), но никогда не достигнут его. Таким образом, на открытом интервале функция не достигает ни своего наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: ни наименьшего, ни наибольшего значения не существует.