Номер 10.9, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

10.9 Постройте график линейной функции $y = -2,5x$. Найдите по графику:

а) значение $y$, соответствующее значению $x$, равному 0; 2; -2;

б) значение $x$, которому соответствует значение $y$, равное 0; 5; -5;

в) решения неравенства $-2,5x \ge 0$;

г) решения неравенства $0 < -2,5x < 2$.

Для построения графика линейной функции $y = -2,5x$ найдем координаты двух точек, принадлежащих этому графику. Функция является прямой пропорциональностью, поэтому ее график проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.

Найдем еще одну точку. Пусть $x = 2$, тогда $y = -2,5 \cdot 2 = -5$. Получили точку $(2, -5)$.

Построим в системе координат прямую, проходящую через точки $(0, 0)$ и $(2, -5)$. Это и есть график функции $y = -2,5x$.

Теперь найдем по графику требуемые значения.

а) значение y, соответствующее значению x, равному 0; 2; -2;

Чтобы найти значение $y$ по известному значению $x$, нужно найти на оси абсцисс (оси $Ox$) заданное значение $x$, провести перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (оси $Oy$).

• Если $x=0$, то точка на графике – это начало координат $(0,0)$. Следовательно, $y=0$.
• Если $x=2$, то соответствующая точка на графике – $(2, -5)$. Следовательно, $y=-5$.
• Если $x=-2$, то соответствующая точка на графике – $(-2, 5)$. (Проверка: $y = -2,5 \cdot (-2) = 5$). Следовательно, $y=5$.

Ответ: при $x=0$ значение $y=0$; при $x=2$ значение $y=-5$; при $x=-2$ значение $y=5$.

б) значение x, которому соответствует значение y, равное 0; 5; -5;

Чтобы найти значение $x$ по известному значению $y$, нужно найти на оси ординат (оси $Oy$) заданное значение $y$, провести перпендикуляр (горизонтальную линию) до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси абсцисс (оси $Ox$).

• Если $y=0$, то точка на графике – это $(0,0)$. Следовательно, $x=0$.
• Если $y=5$, то соответствующая точка на графике – $(-2, 5)$. Следовательно, $x=-2$.
• Если $y=-5$, то соответствующая точка на графике – $(2, -5)$. Следовательно, $x=2$.

Ответ: при $y=0$ значение $x=0$; при $y=5$ значение $x=-2$; при $y=-5$ значение $x=2$.

в) решения неравенства $-2,5x \ge 0$;

Неравенство $-2,5x \ge 0$ эквивалентно неравенству $y \ge 0$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции находится выше оси $Ox$ или на самой оси.

Из графика видно, что $y=0$ при $x=0$, и $y > 0$ (ветвь графика во второй координатной четверти) при $x < 0$. Объединяя эти условия, получаем, что неравенство выполняется для всех $x \le 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

г) решения неравенства $0 < -2,5x < 2$.

Неравенство $0 < -2,5x < 2$ эквивалентно двойному неравенству $0 < y < 2$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции находится строго между горизонтальными линиями $y=0$ (ось $Ox$) и $y=2$.

Из графика видно, что условие $y>0$ выполняется при $x<0$.

Найдем значение $x$, при котором $y=2$. Для этого решим уравнение $2 = -2,5x$. $x = \frac{2}{-2,5} = \frac{20}{-25} = -\frac{4}{5} = -0,8$. Так как функция убывающая, условие $y<2$ будет выполняться при $x > -0,8$.

Итак, нам нужны значения $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $x<0$ и $x>-0,8$. Объединив их, получаем $-0,8 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-0,8; 0)$.