Номер 10.17, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 10. Линейная функция y=kx. Глава 2. Линейная функция. Часть 2 - номер 10.17, страница 58.

Условие.

10.17 Выясните, корректно ли задание: найти точку пересечения указанных прямых. Если задание корректно, то выполните его.

а) $y = 2x$, $y = 2x - 3$;

б) $y = 3x$, $y = 2x - 1$;

в) $y = 5 - x$, $y = -x$;

г) $y = 4$, $y = x + 3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = 2x, y = 2x - 3$

Две прямые, заданные уравнениями вида $y = kx + b$, пересекаются, если их угловые коэффициенты $k$ различны. Если угловые коэффициенты равны, а свободные члены $b$ различны, то прямые параллельны и не имеют точек пересечения.

В данном случае для прямой $y = 2x$ угловой коэффициент $k_1 = 2$. Для прямой $y = 2x - 3$ угловой коэффициент $k_2 = 2$.

Поскольку $k_1 = k_2 = 2$, данные прямые параллельны. Следовательно, они не пересекаются, и найти их точку пересечения невозможно.

Если мы попытаемся решить систему уравнений, приравняв правые части, то получим: $2x = 2x - 3$ $0 = -3$

Это неверное равенство, что подтверждает отсутствие решений. Задание некорректно.

Ответ: Задание некорректно, так как прямые параллельны и не пересекаются.

б) $y = 3x, y = 2x - 1$

Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 3$. Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = 2$.

Поскольку угловые коэффициенты различны ($3 \neq 2$), прямые пересекаются в одной точке. Задание корректно.

Чтобы найти координаты точки пересечения, приравняем правые части уравнений: $3x = 2x - 1$

Решим это уравнение относительно $x$: $3x - 2x = -1$ $x = -1$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое: $y = 3x = 3 \cdot (-1) = -3$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-1, -3)$.

Ответ: Задание корректно. Точка пересечения: $(-1, -3)$.

в) $y = 5 - x, y = -x$

Перепишем первое уравнение в стандартном виде: $y = -x + 5$.

Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = -1$. Угловой коэффициент второй прямой $y = -x$ также $k_2 = -1$.

Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 = 5$, $b_2 = 0$), прямые параллельны и не пересекаются.

Попытка решить систему приводит к неверному равенству: $5 - x = -x$ $5 = 0$

Задание некорректно.

Ответ: Задание некорректно, так как прямые параллельны и не пересекаются.

г) $y = 4, y = x + 3$

Первая прямая $y = 4$ — это горизонтальная линия, ее угловой коэффициент $k_1 = 0$.

Вторая прямая $y = x + 3$ имеет угловой коэффициент $k_2 = 1$.

Угловые коэффициенты различны ($0 \neq 1$), значит, прямые пересекаются. Задание корректно.

Для нахождения точки пересечения приравняем правые части уравнений: $4 = x + 3$

Найдем $x$: $x = 4 - 3$ $x = 1$

Значение $y$ уже известно из первого уравнения: $y = 4$.

Координаты точки пересечения: $(1, 4)$.

Ответ: Задание корректно. Точка пересечения: $(1, 4)$.