Номер 14.16, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Метод подстановки. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 2 - номер 14.16, страница 73.

Условие.

14.16 а) $\begin{cases} 4x - 7y = 33, \\ 2x + 5y = 25; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5y - 6x = 2, \\ 8x - 3y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x - 2y = 48, \\ 2x + 3y = 23; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x - 3y = -1, \\ 10x - 4y = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дана система уравнений:$\begin{cases} 4x - 7y = 33 \\ 2x + 5y = 25\end{cases}$
Решим систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$2x + 5y = 25 \quad | \cdot (-2)$
$-4x - 10y = -50$
Теперь система выглядит так:$\begin{cases} 4x - 7y = 33 \\ -4x - 10y = -50\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(4x - 7y) + (-4x - 10y) = 33 + (-50)$
$-17y = -17$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y = 1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2x + 5(1) = 25$
$2x + 5 = 25$
$2x = 20$
$x = 10$
Ответ: $(10; 1)$.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases} 5y - 6x = 2 \\ 8x - 3y = 1\end{cases}$
Для удобства решения приведем уравнения к стандартному виду, расположив переменные в алфавитном порядке:$\begin{cases} -6x + 5y = 2 \\ 8x - 3y = 1\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$-6x + 5y = 2 \quad | \cdot 4 \quad \implies \quad -24x + 20y = 8$
$8x - 3y = 1 \quad | \cdot 3 \quad \implies \quad 24x - 9y = 3$
Получаем новую систему:$\begin{cases} -24x + 20y = 8 \\ 24x - 9y = 3\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(-24x + 20y) + (24x - 9y) = 8 + 3$
$11y = 11$
$y = 1$
Подставим $y=1$ во второе исходное уравнение:
$8x - 3(1) = 1$
$8x - 3 = 1$
$8x = 4$
$x = \frac{4}{8} = 0.5$
Ответ: $(0.5; 1)$.

в) Дана система уравнений:$\begin{cases} 5x - 2y = 48 \\ 2x + 3y = 23\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$5x - 2y = 48 \quad | \cdot 3 \quad \implies \quad 15x - 6y = 144$
$2x + 3y = 23 \quad | \cdot 2 \quad \implies \quad 4x + 6y = 46$
Получаем новую систему:$\begin{cases} 15x - 6y = 144 \\ 4x + 6y = 46\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(15x - 6y) + (4x + 6y) = 144 + 46$
$19x = 190$
$x = 10$
Подставим $x=10$ во второе исходное уравнение:
$2(10) + 3y = 23$
$20 + 3y = 23$
$3y = 3$
$y = 1$
Ответ: $(10; 1)$.

г) Дана система уравнений:$\begin{cases} 4x - 3y = -1 \\ 10x - 4y = 1\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$4x - 3y = -1 \quad | \cdot 4 \quad \implies \quad 16x - 12y = -4$
$10x - 4y = 1 \quad | \cdot (-3) \quad \implies \quad -30x + 12y = -3$
Получаем новую систему:$\begin{cases} 16x - 12y = -4 \\ -30x + 12y = -3\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(16x - 12y) + (-30x + 12y) = -4 + (-3)$
$-14x = -7$
$x = \frac{-7}{-14} = \frac{1}{2} = 0.5$
Подставим $x=0.5$ в первое исходное уравнение:
$4(0.5) - 3y = -1$
$2 - 3y = -1$
$-3y = -3$
$y = 1$
Ответ: $(0.5; 1)$.