Номер 14.15, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите систему уравнений:

14.15 a) $ \begin{cases} 4x - 5y = 1, \\ 2x - 3y = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x + 4y = 0, \\ 2x + 3y = 1; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 4x - 3y = 7, \\ 5x + 2y = 26; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3x - 5y = 0, \\ 8y - 5x = -1. \end{cases} $

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 5y = 1 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases} $
Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$ -2 \cdot (2x - 3y) = -2 \cdot 2 $
$ -4x + 6y = -4 $
Теперь сложим почленно первое уравнение исходной системы и полученное уравнение:
$ (4x - 5y) + (-4x + 6y) = 1 + (-4) $
$ 4x - 5y - 4x + 6y = -3 $
$ y = -3 $
Подставим найденное значение $y$ в любое из уравнений системы, например, во второе:
$ 2x - 3(-3) = 2 $
$ 2x + 9 = 2 $
$ 2x = 2 - 9 $
$ 2x = -7 $
$ x = -7 / 2 = -3.5 $
Таким образом, решение системы: $x = -3.5, y = -3$.
Ответ: $(-3.5; -3)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 4y = 0 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases} $
Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$ 2 \cdot (3x + 4y) = 2 \cdot 0 \implies 6x + 8y = 0 $
$ -3 \cdot (2x + 3y) = -3 \cdot 1 \implies -6x - 9y = -3 $
Сложим полученные уравнения:
$ (6x + 8y) + (-6x - 9y) = 0 + (-3) $
$ 6x + 8y - 6x - 9y = -3 $
$ -y = -3 $
$ y = 3 $
Подставим $y = 3$ в первое уравнение исходной системы:
$ 3x + 4(3) = 0 $
$ 3x + 12 = 0 $
$ 3x = -12 $
$ x = -4 $
Решение системы: $x = -4, y = 3$.
Ответ: $(-4; 3)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 3y = 7 \\ 5x + 2y = 26 \end{cases} $
Применим метод сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
$ 2 \cdot (4x - 3y) = 2 \cdot 7 \implies 8x - 6y = 14 $
$ 3 \cdot (5x + 2y) = 3 \cdot 26 \implies 15x + 6y = 78 $
Сложим два новых уравнения:
$ (8x - 6y) + (15x + 6y) = 14 + 78 $
$ 23x = 92 $
$ x = 92 / 23 $
$ x = 4 $
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы:
$ 4(4) - 3y = 7 $
$ 16 - 3y = 7 $
$ -3y = 7 - 16 $
$ -3y = -9 $
$ y = 3 $
Решение системы: $x = 4, y = 3$.
Ответ: $(4; 3)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 5y = 0 \\ 8y - 5x = -1 \end{cases} $
Для удобства приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые: $ \begin{cases} 3x - 5y = 0 \\ -5x + 8y = -1 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 3:
$ 5 \cdot (3x - 5y) = 5 \cdot 0 \implies 15x - 25y = 0 $
$ 3 \cdot (-5x + 8y) = 3 \cdot (-1) \implies -15x + 24y = -3 $
Сложим полученные уравнения:
$ (15x - 25y) + (-15x + 24y) = 0 + (-3) $
$ -y = -3 $
$ y = 3 $
Подставим $y = 3$ в первое уравнение исходной системы:
$ 3x - 5(3) = 0 $
$ 3x - 15 = 0 $
$ 3x = 15 $
$ x = 5 $
Решение системы: $x = 5, y = 3$.
Ответ: $(5; 3)$.