Номер 14.11, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 14. Метод подстановки - номер 14.11, страница 72.

Условие.

14.11 Найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $y = 5x$ и $4x + y = 180$;

б) $x - 2y = 5$ и $2x + y = 9$;

в) $y = -1.4x$ и $x - y = 18$;

г) $x - 10y = 1$ и $2x + 3y = 48$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые. Координаты $(x, y)$ точки пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно.

а) $y = 5x$ и $4x + y = 180$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 5x \\ 4x + y = 180 \end{cases}$

В первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$4x + (5x) = 180$

Решим полученное уравнение:

$9x = 180$

$x = \frac{180}{9}$

$x = 20$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 20$ в первое уравнение:

$y = 5 \cdot 20$

$y = 100$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(20, 100)$.

Ответ: $(20, 100)$.

б) $x - 2y = 5$ и $2x + y = 9$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 2x + y = 9 \end{cases}$

Выразим переменную $y$ из второго уравнения:

$y = 9 - 2x$

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

$x - 2(9 - 2x) = 5$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x - 18 + 4x = 5$

$5x = 5 + 18$

$5x = 23$

$x = \frac{23}{5} = 4,6$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 4,6$ в выражение $y = 9 - 2x$:

$y = 9 - 2 \cdot 4,6$

$y = 9 - 9,2$

$y = -0,2$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(4,6; -0,2)$.

Ответ: $(4,6; -0,2)$.

в) $y = -1,4x$ и $x - y = 18$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -1,4x \\ x - y = 18 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x - (-1,4x) = 18$

Решим полученное уравнение:

$x + 1,4x = 18$

$2,4x = 18$

$x = \frac{18}{2,4} = \frac{180}{24} = \frac{15}{2} = 7,5$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 7,5$ в первое уравнение:

$y = -1,4 \cdot 7,5$

$y = -10,5$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(7,5; -10,5)$.

Ответ: $(7,5; -10,5)$.

г) $x - 10y = 1$ и $2x + 3y = 48$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 10y = 1 \\ 2x + 3y = 48 \end{cases}$

Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 1 + 10y$

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

$2(1 + 10y) + 3y = 48$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$2 + 20y + 3y = 48$

$23y = 48 - 2$

$23y = 46$

$y = \frac{46}{23} = 2$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 2$ в выражение $x = 1 + 10y$:

$x = 1 + 10 \cdot 2$

$x = 1 + 20$

$x = 21$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(21, 2)$.

Ответ: $(21, 2)$.