Номер 14.14, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите систему уравнений:

14.14 a)

$\begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ 3x + 4y = 34 \end{cases}$

б) $\begin{cases} -5x + 2y = 20 \\ 2x - 5y = -8 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x - 3y = 12 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x - 4y = 5 \\ 2x - 3y = 9 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x - 3y = 12, \\ 3x + 4y = 34. \end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами.

$\begin{cases} 4(4x - 3y) = 4 \cdot 12, \\ 3(3x + 4y) = 3 \cdot 34; \end{cases}$

$\begin{cases} 16x - 12y = 48, \\ 9x + 12y = 102. \end{cases}$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(16x - 12y) + (9x + 12y) = 48 + 102$

$25x = 150$

$x = \frac{150}{25}$

$x = 6$

Подставим найденное значение $x=6$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти y:

$4 \cdot 6 - 3y = 12$

$24 - 3y = 12$

$-3y = 12 - 24$

$-3y = -12$

$y = \frac{-12}{-3}$

$y = 4$

Проверка: подставим найденные значения во второе уравнение $3(6) + 4(4) = 18 + 16 = 34$. Равенство верное.

Ответ: $(6; 4)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} -5x + 2y = 20, \\ 2x - 5y = -8. \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными числами.

$\begin{cases} 5(-5x + 2y) = 5 \cdot 20, \\ 2(2x - 5y) = 2 \cdot (-8); \end{cases}$

$\begin{cases} -25x + 10y = 100, \\ 4x - 10y = -16. \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(-25x + 10y) + (4x - 10y) = 100 + (-16)$

$-21x = 84$

$x = \frac{84}{-21}$

$x = -4$

Подставим найденное значение $x=-4$ в первое уравнение исходной системы:

$-5(-4) + 2y = 20$

$20 + 2y = 20$

$2y = 0$

$y = 0$

Проверка: подставим найденные значения во второе уравнение $2(-4) - 5(0) = -8 - 0 = -8$. Равенство верное.

Ответ: $(-4; 0)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3y = 12, \\ 3x + 2y = 5. \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3.

$\begin{cases} 2(2x - 3y) = 2 \cdot 12, \\ 3(3x + 2y) = 3 \cdot 5; \end{cases}$

$\begin{cases} 4x - 6y = 24, \\ 9x + 6y = 15. \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(4x - 6y) + (9x + 6y) = 24 + 15$

$13x = 39$

$x = \frac{39}{13}$

$x = 3$

Подставим $x=3$ в первое уравнение исходной системы:

$2(3) - 3y = 12$

$6 - 3y = 12$

$-3y = 6$

$y = \frac{6}{-3}$

$y = -2$

Проверка: подставим найденные значения во второе уравнение $3(3) + 2(-2) = 9 - 4 = 5$. Равенство верное.

Ответ: $(3; -2)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 4y = 5, \\ 2x - 3y = 9. \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы избавиться от переменной x.

$\begin{cases} 2(5x - 4y) = 2 \cdot 5, \\ -5(2x - 3y) = -5 \cdot 9; \end{cases}$

$\begin{cases} 10x - 8y = 10, \\ -10x + 15y = -45. \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(10x - 8y) + (-10x + 15y) = 10 + (-45)$

$7y = -35$

$y = \frac{-35}{7}$

$y = -5$

Подставим $y=-5$ в первое уравнение исходной системы:

$5x - 4(-5) = 5$

$5x + 20 = 5$

$5x = 5 - 20$

$5x = -15$

$x = \frac{-15}{5}$

$x = -3$

Проверка: подставим найденные значения во второе уравнение $2(-3) - 3(-5) = -6 + 15 = 9$. Равенство верное.

Ответ: $(-3; -5)$.