Номер 14.10, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Метод подстановки. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 2 - номер 14.10, страница 72.

Условие.

Найдите координаты точки пересечения прямых:

14.10

а) $y = 10x + 30$ и $y = -12x + 272;

б) $y = -18x + 25$ и $y = 15x + 14;

в) $y = 15x - 21$ и $y = 7x - 77;

г) $y = -7x - 19$ и $y = 14x - 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, графики которых заданы уравнениями $y = 10x + 30$ и $y = -12x + 272$, необходимо решить систему этих уравнений. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обеих прямых совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений.

Приравниваем выражения для $y$:

$10x + 30 = -12x + 272$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые значения — в правую:

$10x + 12x = 272 - 30$

$22x = 242$

Разделим обе части уравнения на 22, чтобы найти $x$:

$x = \frac{242}{22} = 11$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Теперь найдем ординату (координату $y$), подставив найденное значение $x=11$ в любое из двух исходных уравнений. Подставим в первое:

$y = 10x + 30 = 10 \cdot 11 + 30 = 110 + 30 = 140$

Для проверки можно подставить $x=11$ и во второе уравнение:

$y = -12x + 272 = -12 \cdot 11 + 272 = -132 + 272 = 140$

Так как результаты совпали, координаты точки пересечения найдены верно.

Ответ: $(11; 140)$.

б) Найдем координаты точки пересечения прямых $y = -18x + 25$ и $y = 15x + 14$.

Приравниваем правые части уравнений:

$-18x + 25 = 15x + 14$

Решаем уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$25 - 14 = 15x + 18x$

$11 = 33x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}$

Теперь подставим значение $x = \frac{1}{3}$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Используем второе уравнение:

$y = 15x + 14 = 15 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) + 14 = 5 + 14 = 19$

Проверка с помощью первого уравнения:

$y = -18x + 25 = -18 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) + 25 = -6 + 25 = 19$

Результаты совпали.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 19)$.

в) Найдем координаты точки пересечения прямых $y = 15x - 21$ и $y = 7x - 77$.

Приравниваем правые части уравнений:

$15x - 21 = 7x - 77$

Решаем уравнение относительно $x$:

$15x - 7x = -77 + 21$

$8x = -56$

Находим $x$:

$x = \frac{-56}{8} = -7$

Подставляем $x = -7$ в любое из уравнений для нахождения $y$. Возьмем второе:

$y = 7x - 77 = 7 \cdot (-7) - 77 = -49 - 77 = -126$

Проверка с помощью первого уравнения:

$y = 15x - 21 = 15 \cdot (-7) - 21 = -105 - 21 = -126$

Результаты совпали.

Ответ: $(-7; -126)$.

г) Найдем координаты точки пересечения прямых $y = -7x - 19$ и $y = 14x - 1$.

Приравниваем правые части уравнений:

$-7x - 19 = 14x - 1$

Решаем уравнение относительно $x$:

$-19 + 1 = 14x + 7x$

$-18 = 21x$

Находим $x$ и сокращаем дробь:

$x = \frac{-18}{21} = -\frac{18 \div 3}{21 \div 3} = -\frac{6}{7}$

Подставляем $x = -\frac{6}{7}$ в любое из уравнений для нахождения $y$. Возьмем второе:

$y = 14x - 1 = 14 \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) - 1 = 2 \cdot (-6) - 1 = -12 - 1 = -13$

Проверка с помощью первого уравнения:

$y = -7x - 19 = -7 \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) - 19 = 6 - 19 = -13$

Результаты совпали.

Ответ: $(-\frac{6}{7}; -13)$.