Номер 14.13, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите задачу, используя для составления математической модели две переменные:

14.13

Два числа в сумме дают 77. Найдите эти числа, если $\frac{2}{3}$ одного числа составляют $\frac{4}{5}$ другого.

Для решения задачи введем две переменные. Пусть первое число будет $x$, а второе число — $y$.

Исходя из условия, что сумма этих двух чисел равна 77, составим первое уравнение:
$x + y = 77$

Также, по условию, $\frac{2}{3}$ первого числа равны $\frac{4}{5}$ второго числа. Это дает нам второе уравнение:
$\frac{2}{3}x = \frac{4}{5}y$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} x + y = 77 \\ \frac{2}{3}x = \frac{4}{5}y \end{cases} $

Решим эту систему. Сначала выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$x = 77 - y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$\frac{2}{3}(77 - y) = \frac{4}{5}y$

Чтобы упростить уравнение, избавимся от дробей, умножив обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, то есть на 15:
$15 \cdot \frac{2}{3}(77 - y) = 15 \cdot \frac{4}{5}y$
$5 \cdot 2(77 - y) = 3 \cdot 4y$
$10(77 - y) = 12y$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$770 - 10y = 12y$
$770 = 12y + 10y$
$770 = 22y$
$y = \frac{770}{22}$
$y = 35$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$, подставив его в выражение $x = 77 - y$:
$x = 77 - 35$
$x = 42$

Итак, искомые числа — это 42 и 35. Выполним проверку:
1. Сумма чисел: $42 + 35 = 77$. (Верно)
2. Равенство частей: $\frac{2}{3} \cdot 42 = 2 \cdot 14 = 28$ и $\frac{4}{5} \cdot 35 = 4 \cdot 7 = 28$. Равенство $28=28$ выполняется. (Верно)

Ответ: 42 и 35.