Номер 14.20, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

14.20 а) $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5, \\ 5x - 11y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4, \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{4} = -2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x + 7y = 1, \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{6} = -\frac{1}{2}. \end{cases}$

а) Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{3} \end{cases} $$ Для того чтобы избавиться от дробей, умножим каждое уравнение на наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Для обоих уравнений НОК(2, 3) = 6.
Умножим первое уравнение на 6: $6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) = 6 \cdot 3$
$3x + 2y = 18$
Умножим второе уравнение на 6: $6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{2}) = 6 \cdot \frac{1}{3}$
$2x + 3y = 2$
Теперь мы имеем эквивалентную систему без дробей: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 18 \\ 2x + 3y = 2 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными. $$ \begin{cases} 3(3x + 2y) = 3 \cdot 18 \\ -2(2x + 3y) = -2 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 9x + 6y = 54 \\ -4x - 6y = -4 \end{cases} $$ Сложим полученные уравнения: $(9x + 6y) + (-4x - 6y) = 54 + (-4)$
$5x = 50$
$x = 10$
Подставим найденное значение $x=10$ в первое упрощенное уравнение $3x + 2y = 18$: $3(10) + 2y = 18$
$30 + 2y = 18$
$2y = 18 - 30$
$2y = -12$
$y = -6$
Ответ: $x=10, y=-6$.

б) Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \\ 5x - 11y = 1 \end{cases} $$ Упростим первое уравнение, избавившись от дробей. Умножим его на НОК(3, 2) = 6: $6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{2}) = 6 \cdot 5$
$2x + 3y = 30$
Система принимает вид: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 30 \\ 5x - 11y = 1 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы исключить переменную $x$: $$ \begin{cases} 5(2x + 3y) = 5 \cdot 30 \\ -2(5x - 11y) = -2 \cdot 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 10x + 15y = 150 \\ -10x + 22y = -2 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $(10x + 15y) + (-10x + 22y) = 150 - 2$
$37y = 148$
$y = \frac{148}{37}$
$y = 4$
Подставим $y=4$ в уравнение $2x + 3y = 30$: $2x + 3(4) = 30$
$2x + 12 = 30$
$2x = 30 - 12$
$2x = 18$
$x = 9$
Ответ: $x=9, y=4$.

в) Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{4} = -2 \end{cases} $$ Избавимся от дробей в каждом уравнении. Умножим первое уравнение на НОК(3, 2) = 6: $6 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{y}{2}) = 6 \cdot (-4)$
$2x - 3y = -24$
Умножим второе уравнение на НОК(2, 4) = 4: $4 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{4}) = 4 \cdot (-2)$
$2x + y = -8$
Получили систему: $$ \begin{cases} 2x - 3y = -24 \\ 2x + y = -8 \end{cases} $$ Решим систему методом вычитания, так как коэффициенты при $x$ одинаковы. Вычтем второе уравнение из первого: $(2x - 3y) - (2x + y) = -24 - (-8)$
$2x - 3y - 2x - y = -24 + 8$
$-4y = -16$
$y = 4$
Подставим $y=4$ во второе упрощенное уравнение $2x + y = -8$: $2x + 4 = -8$
$2x = -8 - 4$
$2x = -12$
$x = -6$
Ответ: $x=-6, y=4$.

г) Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 4x + 7y = 1 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{6} = -\frac{1}{2} \end{cases} $$ Упростим второе уравнение, умножив его на НОК(5, 6, 2) = 30: $30 \cdot (\frac{x}{5} + \frac{y}{6}) = 30 \cdot (-\frac{1}{2})$
$6x + 5y = -15$
Система принимает вид: $$ \begin{cases} 4x + 7y = 1 \\ 6x + 5y = -15 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2: $$ \begin{cases} 3(4x + 7y) = 3 \cdot 1 \\ -2(6x + 5y) = -2 \cdot (-15) \end{cases} \implies \begin{cases} 12x + 21y = 3 \\ -12x - 10y = 30 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $(12x + 21y) + (-12x - 10y) = 3 + 30$
$11y = 33$
$y = 3$
Подставим $y=3$ в первое уравнение $4x + 7y = 1$: $4x + 7(3) = 1$
$4x + 21 = 1$
$4x = 1 - 21$
$4x = -20$
$x = -5$
Ответ: $x=-5, y=3$.