Номер 14.18, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 14. Метод подстановки - номер 14.18, страница 73.

Условие.

14.18 a) $\begin{cases} 4(x - y) = -2, \\ 3x - 7y = -2,5 - 2(x + y); \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2(x + y) = 8, \\ 14 - 3(x - y) = 5y - x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3(x + y) = 6, \\ 6 + 5(x - y) = 8x - 2y; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5(x - y) = 10, \\ 3x - 7y = 20 - (x + 3y). \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}4(x - y) = -2, \\3x - 7y = -2,5 - 2(x + y)\end{cases}$
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$4(x - y) = -2$
$4x - 4y = -2$
Разделим обе части на 2:
$2x - 2y = -1$
Второе уравнение:
$3x - 7y = -2,5 - 2(x + y)$
$3x - 7y = -2,5 - 2x - 2y$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы оставим в правой:
$3x + 2x - 7y + 2y = -2,5$
$5x - 5y = -2,5$
Разделим обе части на 5:
$x - y = -0,5$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}2x - 2y = -1 \\x - y = -0,5\end{cases}$
Если мы разделим первое уравнение на 2, мы получим $x - y = -0,5$, что полностью совпадает со вторым уравнением. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Все решения лежат на прямой, заданной уравнением $x - y = -0,5$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = x + 0,5$
Ответ: Бесконечное множество решений вида $(x; x + 0,5)$, где $x$ — любое число.

б) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}2(x + y) = 8, \\14 - 3(x - y) = 5y - x\end{cases}$
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$2(x + y) = 8$
Разделим обе части на 2:
$x + y = 4$
Второе уравнение:
$14 - 3(x - y) = 5y - x$
$14 - 3x + 3y = 5y - x$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы — в правую:
$-3x + x + 3y - 5y = -14$
$-2x - 2y = -14$
Разделим обе части на -2:
$x + y = 7$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}x + y = 4 \\x + y = 7\end{cases}$
Система содержит противоречивые уравнения ($4 \neq 7$), следовательно, она не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

в) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}3(x + y) = 6, \\6 + 5(x - y) = 8x - 2y\end{cases}$
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$3(x + y) = 6$
Разделим обе части на 3:
$x + y = 2$
Второе уравнение:
$6 + 5(x - y) = 8x - 2y$
$6 + 5x - 5y = 8x - 2y$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы — в правую:
$5x - 8x - 5y + 2y = -6$
$-3x - 3y = -6$
Разделим обе части на -3:
$x + y = 2$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}x + y = 2 \\x + y = 2\end{cases}$
Оба уравнения системы идентичны. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Все решения лежат на прямой, заданной уравнением $x + y = 2$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = 2 - x$
Ответ: Бесконечное множество решений вида $(x; 2 - x)$, где $x$ — любое число.

г) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}5(x - y) = 10, \\3x - 7y = 20 - (x + 3y)\end{cases}$
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$5(x - y) = 10$
Разделим обе части на 5:
$x - y = 2$
Второе уравнение:
$3x - 7y = 20 - (x + 3y)$
$3x - 7y = 20 - x - 3y$
Перенесем все члены с переменными в левую часть:
$3x + x - 7y + 3y = 20$
$4x - 4y = 20$
Разделим обе части на 4:
$x - y = 5$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}x - y = 2 \\x - y = 5\end{cases}$
Система содержит противоречивые уравнения ($2 \neq 5$), следовательно, она не имеет решений.
Ответ: Нет решений.