Номер 14.21, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Метод подстановки. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 2 - номер 14.21, страница 73.

Условие.

14.21 a) $\begin{cases} 6y - 5x - 1 = 0, \\ \frac{x - 1}{3} + \frac{y + 1}{2} = 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x + 2y}{5} + \frac{3x - y}{3} = 5, \\ 2x - 3y = -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{3x + 2y}{5} + \frac{x - 3y}{6} = 3, \\ 2x + 7y + 43 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 7x - 10y = 5, \\ \frac{4x + 1}{3} - \frac{5x - 3y}{4} = 3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6y - 5x - 1 = 0 \\ \frac{x-1}{3} + \frac{y+1}{2} = 10 \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение, приведя их к стандартному виду $Ax + By = C$.

Первое уравнение: $6y - 5x - 1 = 0$ можно переписать как $-5x + 6y = 1$.

Для второго уравнения, умножим обе его части на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на 6:

$6 \cdot \left(\frac{x-1}{3}\right) + 6 \cdot \left(\frac{y+1}{2}\right) = 10 \cdot 6$

$2(x-1) + 3(y+1) = 60$

$2x - 2 + 3y + 3 = 60$

$2x + 3y + 1 = 60$

$2x + 3y = 59$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} -5x + 6y = 1 \\ 2x + 3y = 59 \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$2x + 3y = 59 \quad|\cdot(-2) \quad \implies \quad -4x - 6y = -118$

Теперь сложим первое уравнение и преобразованное второе:

$(-5x + 6y) + (-4x - 6y) = 1 + (-118)$

$-9x = -117$

$x = \frac{-117}{-9} = 13$

Подставим значение $x=13$ во второе упрощенное уравнение $2x + 3y = 59$:

$2(13) + 3y = 59$

$26 + 3y = 59$

$3y = 59 - 26$

$3y = 33$

$y = 11$

Решение системы: $(13; 11)$.

Ответ: (13; 11).

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+2y}{5} + \frac{3x-y}{3} = 5 \\ 2x - 3y = -1 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив его на наименьший общий знаменатель 15:

$15 \cdot \left(\frac{x+2y}{5}\right) + 15 \cdot \left(\frac{3x-y}{3}\right) = 5 \cdot 15$

$3(x+2y) + 5(3x-y) = 75$

$3x + 6y + 15x - 5y = 75$

$18x + y = 75$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 18x + y = 75 \\ 2x - 3y = -1 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 75 - 18x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x - 3(75 - 18x) = -1$

$2x - 225 + 54x = -1$

$56x = 224$

$x = \frac{224}{56} = 4$

Теперь найдем $y$, подставив $x=4$ в выражение для $y$:

$y = 75 - 18(4)$

$y = 75 - 72 = 3$

Решение системы: $(4; 3)$.

Ответ: (4; 3).

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3x+2y}{5} + \frac{x-3y}{6} = 3 \\ 2x + 7y + 43 = 0 \end{cases} $

Упростим оба уравнения. Для первого уравнения, умножим обе части на 30 (НОК 5 и 6):

$6(3x+2y) + 5(x-3y) = 3 \cdot 30$

$18x + 12y + 5x - 15y = 90$

$23x - 3y = 90$

Второе уравнение: $2x + 7y + 43 = 0 \implies 2x + 7y = -43$.

Система в упрощенном виде:

$ \begin{cases} 23x - 3y = 90 \\ 2x + 7y = -43 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3, чтобы исключить $y$:

$7 \cdot (23x - 3y) = 7 \cdot 90 \implies 161x - 21y = 630$

$3 \cdot (2x + 7y) = 3 \cdot (-43) \implies 6x + 21y = -129$

Сложим полученные уравнения:

$(161x - 21y) + (6x + 21y) = 630 - 129$

$167x = 501$

$x = \frac{501}{167} = 3$

Подставим $x=3$ во второе упрощенное уравнение $2x + 7y = -43$:

$2(3) + 7y = -43$

$6 + 7y = -43$

$7y = -49$

$y = -7$

Решение системы: $(3; -7)$.

Ответ: (3; -7).

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 10y = 5 \\ \frac{4x+1}{3} - \frac{5x-3y}{4} = 3 \end{cases} $

Первое уравнение уже в стандартном виде. Упростим второе уравнение, умножив его на 12 (НОК 3 и 4):

$12 \cdot \left(\frac{4x+1}{3}\right) - 12 \cdot \left(\frac{5x-3y}{4}\right) = 3 \cdot 12$

$4(4x+1) - 3(5x-3y) = 36$

$16x + 4 - 15x + 9y = 36$

$x + 9y = 32$

Система в упрощенном виде:

$ \begin{cases} 7x - 10y = 5 \\ x + 9y = 32 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:

$x = 32 - 9y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$7(32 - 9y) - 10y = 5$

$224 - 63y - 10y = 5$

$224 - 73y = 5$

$-73y = 5 - 224$

$-73y = -219$

$y = \frac{-219}{-73} = 3$

Теперь найдем $x$, подставив $y=3$ в выражение для $x$:

$x = 32 - 9(3)$

$x = 32 - 27 = 5$

Решение системы: $(5; 3)$.

Ответ: (5; 3).