Страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.1 Расстояние между двумя пунктами по реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 ч, а против течения за 5 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v_с$ — собственная скорость лодки (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч).

Когда лодка движется по течению, ее скорость складывается из собственной скорости и скорости течения, то есть скорость равна $v_с + v_т$.

Когда лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения, то есть $v_с - v_т$.

Мы можем использовать основную формулу движения: расстояние = скорость × время ($S = v \cdot t$). Из нее можно выразить скорость: $v = S / t$.

1. Найдем скорость лодки по течению реки.

Лодка проплыла расстояние $S = 80$ км за время $t_1 = 4$ ч. Скорость по течению равна: $v_{по\;течению} = \frac{S}{t_1} = \frac{80 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч}$. Следовательно, мы можем составить первое уравнение: $v_с + v_т = 20$.

2. Найдем скорость лодки против течения реки.

Лодка проплыла то же расстояние $S = 80$ км за время $t_2 = 5$ ч. Скорость против течения равна: $v_{против\;течения} = \frac{S}{t_2} = \frac{80 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$. Следовательно, мы можем составить второе уравнение: $v_с - v_т = 16$.

3. Решим систему уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} v_с + v_т = 20 \\ v_с - v_т = 16 \end{cases} $

Самый простой способ решить эту систему — сложить два уравнения. Это позволит нам исключить переменную $v_т$: $(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 20 + 16$
$2v_с = 36$
$v_с = \frac{36}{2}$
$v_с = 18$ км/ч.

Теперь, когда мы нашли собственную скорость лодки, подставим ее значение в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти скорость течения: $18 + v_т = 20$
$v_т = 20 - 18$
$v_т = 2$ км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки составляет 18 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч.

16.2 Два пешехода отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов $M$ и $N$, расстояние между которыми 38 км. Через 4 ч расстояние между ними сократилось до 2 км, а ещё через 3 ч первому пешеходу осталось пройти до пункта $N$ на 7 км меньше, чем второму до $M$. Найдите скорости пешеходов.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого пешехода (вышедшего из пункта M), а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода (вышедшего из пункта N). Изначальное расстояние между ними $S = 38$ км.

Составление первого уравнения

По условию, через 4 часа расстояние между пешеходами стало 2 км. Так как они движутся навстречу друг другу, за это время они вместе преодолели расстояние $38 - 2 = 36$ км. Расстояние, пройденное вместе, равно произведению их скорости сближения $(v_1 + v_2)$ на время $t=4$ ч.

Составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot 4 = 36$

Разделив обе части на 4, получим:

$v_1 + v_2 = 9$

Составление второго уравнения

Второе условие дано для момента времени «ещё через 3 ч», то есть через $4 + 3 = 7$ часов после начала движения.

За 7 часов первый пешеход прошел от пункта M расстояние $S_1 = 7v_1$ км. Расстояние, которое ему осталось пройти до пункта N, составляет $38 - 7v_1$ км.

За 7 часов второй пешеход прошел от пункта N расстояние $S_2 = 7v_2$ км. Расстояние, которое ему осталось пройти до пункта M, составляет $38 - 7v_2$ км.

По условию, первому пешеходу осталось пройти на 7 км меньше, чем второму. Это можно записать в виде уравнения:

$38 - 7v_1 = (38 - 7v_2) - 7$

Упростим это уравнение:

$38 - 7v_1 = 31 - 7v_2$

$7v_2 - 7v_1 = 31 - 38$

$7(v_2 - v_1) = -7$

$v_2 - v_1 = -1$

или

$v_1 - v_2 = 1$

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 9 \\ v_1 - v_2 = 1 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $v_1$:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 9 + 1$

$2v_1 = 10$

$v_1 = 5$

Скорость первого пешехода равна 5 км/ч.

Теперь подставим значение $v_1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $v_2$:

$5 + v_2 = 9$

$v_2 = 9 - 5$

$v_2 = 4$

Скорость второго пешехода равна 4 км/ч.

Ответ: скорость первого пешехода 5 км/ч, скорость второго пешехода 4 км/ч.

16.3 Из пунктов A и B, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 20 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого пешехода, а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода. Общее расстояние $S$ составляет 30 км.

Из первого условия задачи известно, что пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа 20 минут. Переведем время встречи в часы: $t_1 = 3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 3 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 3\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3} \text{ ч}$. Так как пешеходы двигались навстречу друг другу, их общая скорость (скорость сближения) равна $v_1 + v_2$. За время $t_1$ они вместе прошли всё расстояние $S$. Составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot \frac{10}{3} = 30$

Отсюда находим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = 30 \cdot \frac{3}{10} = 9$

Из второго условия задачи следует, что если бы первый пешеход вышел на 2 часа раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 часа после выхода второго. В этом случае время движения второго пешехода до встречи составляет $t_2 = 2,5$ ч. Время движения первого пешехода будет $t'_1 = 2,5 + 2 = 4,5$ ч. Суммарное расстояние, пройденное обоими пешеходами до встречи, равно 30 км. Составим второе уравнение:

$v_1 \cdot 4,5 + v_2 \cdot 2,5 = 30$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 9 \\ 4,5v_1 + 2,5v_2 = 30 \end{cases}$

Для решения системы выразим $v_1$ из первого уравнения: $v_1 = 9 - v_2$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$4,5(9 - v_2) + 2,5v_2 = 30$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_2$:

$40,5 - 4,5v_2 + 2,5v_2 = 30$

$40,5 - 2v_2 = 30$

$2v_2 = 40,5 - 30$

$2v_2 = 10,5$

$v_2 = 5,25$

Теперь найдем скорость первого пешехода:

$v_1 = 9 - 5,25 = 3,75$

Ответ: скорость первого пешехода 3,75 км/ч, скорость второго пешехода 5,25 км/ч.

16.4 Катер за 4 ч по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 ч против течения. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой реке за 15 ч проплывает такое же расстояние, что и катер за 2 ч по озеру.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_к$ (км/ч) — собственная скорость катера, а $v_р$ (км/ч) — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению реки равна $(v_к + v_р)$ км/ч, а скорость катера против течения реки равна $(v_к - v_р)$ км/ч.

Согласно первому условию, за 4 часа по течению реки катер проплывает расстояние $S_1 = 4 \cdot (v_к + v_р)$ км. За 6 часов против течения катер проплывает расстояние $S_2 = 6 \cdot (v_к - v_р)$ км. Известно, что расстояние, пройденное по течению, на 10 км меньше, чем расстояние, пройденное против течения. Составим первое уравнение:

$4(v_к + v_р) = 6(v_к - v_р) - 10$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4v_к + 4v_р = 6v_к - 6v_р - 10$

$4v_р + 6v_р = 6v_к - 4v_к - 10$

$10v_р = 2v_к - 10$

Разделим обе части уравнения на 2:

$5v_р = v_к - 5$

Теперь рассмотрим второе условие. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $v_р$. За 15 часов плот проплывет расстояние $S_3 = 15 \cdot v_р$ км. Скорость катера по озеру (в стоячей воде) равна его собственной скорости, то есть $v_к$. За 2 часа по озеру катер проплывет расстояние $S_4 = 2 \cdot v_к$ км. По условию, эти расстояния равны. Составим второе уравнение:

$15v_р = 2v_к$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 5v_р = v_к - 5 \\ 15v_р = 2v_к \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v_р$ через $v_к$:

$v_р = \frac{2}{15}v_к$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5 \cdot \left(\frac{2}{15}v_к\right) = v_к - 5$

$\frac{10}{15}v_к = v_к - 5$

$\frac{2}{3}v_к = v_к - 5$

Перенесем слагаемые с $v_к$ в одну сторону:

$5 = v_к - \frac{2}{3}v_к$

$5 = \frac{1}{3}v_к$

Отсюда находим собственную скорость катера:

$v_к = 5 \cdot 3 = 15$

Собственная скорость катера равна 15 км/ч. Можно также найти скорость течения реки для проверки: $v_р = \frac{2}{15} \cdot 15 = 2$ км/ч.

Проверка:
Расстояние по течению: $4 \cdot (15+2) = 4 \cdot 17 = 68$ км.
Расстояние против течения: $6 \cdot (15-2) = 6 \cdot 13 = 78$ км.
$78 - 68 = 10$ км. Условие выполняется.
Расстояние плота: $15 \cdot 2 = 30$ км.
Расстояние катера по озеру: $2 \cdot 15 = 30$ км. Условие выполняется.

Ответ: собственная скорость катера равна 15 км/ч.

16.5 Теплоход 120 км проходит за 5 ч против течения реки и 180 км за 6 ч по течению. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v_c$ — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде) в км/ч, а $v_p$ — скорость течения реки в км/ч.

Когда теплоход движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения реки. Когда он движется против течения, скорость течения вычитается из его собственной скорости.

Скорость движения против течения: $v_{против} = v_c - v_p$.

Скорость движения по течению: $v_{по} = v_c + v_p$.

Используя основную формулу движения $v = S / t$ (скорость равна расстоянию, деленному на время), мы можем вычислить скорости теплохода в обоих случаях.

1. Вычислим скорость теплохода против течения. Он прошел 120 км за 5 часов:

$v_{против} = \frac{120 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 24 \text{ км/ч}$.

Таким образом, мы получаем первое уравнение:

$v_c - v_p = 24$.

2. Вычислим скорость теплохода по течению. Он прошел 180 км за 6 часов:

$v_{по} = \frac{180 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 30 \text{ км/ч}$.

Таким образом, мы получаем второе уравнение:

$v_c + v_p = 30$.

3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_c - v_p = 24 \\ v_c + v_p = 30 \end{cases}$

Чтобы найти собственную скорость теплохода $v_c$, сложим первое и второе уравнения:

$(v_c - v_p) + (v_c + v_p) = 24 + 30$

$2v_c = 54$

$v_c = \frac{54}{2} = 27$ км/ч.

4. Теперь, зная собственную скорость теплохода, найдем скорость течения реки $v_p$, подставив значение $v_c$ в любое из уравнений. Используем второе уравнение:

$27 + v_p = 30$

$v_p = 30 - 27$

$v_p = 3$ км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода — 27 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.

16.6 По течению реки лодка за 3 ч 20 мин проходит расстояние 30 км, а против течения за 4 ч — расстояние 28 км. Какое расстояние по озеру пройдёт лодка за 1,5 ч?

Для решения задачи введем следующие обозначения: пусть $v_{л}$ — это собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде, как в озере), а $v_{т}$ — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки равна сумме скоростей $v_{л} + v_{т}$, а скорость против течения — разности скоростей $v_{л} - v_{т}$.

1. Нахождение скорости лодки по течению реки.

По условию, лодка прошла по течению расстояние $S_1 = 30$ км за время $t_1 = 3$ ч 20 мин. Сначала переведем время в часы. Так как в одном часе 60 минут, то 20 минут составляют $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

$t_1 = 3 \text{ ч } + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ ч.

Теперь найдем скорость лодки по течению ($v_{по\;теч.}$), используя формулу скорости $v = \frac{S}{t}$:

$v_{по\;теч.} = \frac{30 \text{ км}}{\frac{10}{3} \text{ ч}} = 30 \cdot \frac{3}{10} = 9$ км/ч.

Следовательно, мы получаем первое уравнение: $v_{л} + v_{т} = 9$.

2. Нахождение скорости лодки против течения реки.

Против течения лодка прошла расстояние $S_2 = 28$ км за время $t_2 = 4$ ч. Найдем скорость лодки против течения ($v_{против\;теч.}$):

$v_{против\;теч.} = \frac{28 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 7$ км/ч.

Отсюда получаем второе уравнение: $v_{л} - v_{т} = 7$.

3. Нахождение собственной скорости лодки.

Мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_{л} + v_{т} = 9 \\ v_{л} - v_{т} = 7 \end{cases}$

Чтобы найти собственную скорость лодки $v_{л}$, можно сложить оба уравнения. При этом скорость течения $v_{т}$ сократится:

$(v_{л} + v_{т}) + (v_{л} - v_{т}) = 9 + 7$

$2v_{л} = 16$

$v_{л} = \frac{16}{2} = 8$ км/ч.

Собственная скорость лодки (и её скорость при движении по озеру) составляет 8 км/ч.

4. Нахождение расстояния, которое лодка пройдет по озеру.

Теперь необходимо вычислить, какое расстояние ($S_{озеро}$) пройдет лодка по озеру за время $t_{озеро} = 1,5$ ч, двигаясь со своей собственной скоростью.

$S_{озеро} = v_{л} \cdot t_{озеро} = 8 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 12$ км.

Ответ: 12 км.