Страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Расскажите, в чём суть метода подстановки при решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Метод подстановки — это один из аналитических способов решения систем уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы избавиться от одной из переменных в одном из уравнений, тем самым сведя решение системы из двух уравнений с двумя переменными к решению одного уравнения с одной переменной.

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки состоит из следующих шагов:

1. Выразить одну переменную через другую

Из любого уравнения системы нужно выразить одну переменную через другую. Удобнее всего выбирать то уравнение и ту переменную, где коэффициент при ней равен $1$ или $-1$, так как это позволяет избежать работы с дробями.

Например, для системы уравнений $ \begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases} $ из первого уравнения легко выразить $x$: $x = 8 - 2y$. Или из второго уравнения можно выразить $y$: $-y = 3 - 3x$, откуда $y = 3x - 3$.

2. Подставить полученное выражение в другое уравнение

Полученное на первом шаге выражение подставляем во второе (то, которое не использовали на первом шаге) уравнение системы вместо той переменной, которую мы выразили. В результате этих действий мы получаем линейное уравнение, содержащее только одну переменную.

Продолжая пример, если мы выбрали выражение $x = 8 - 2y$ из первого уравнения, то подставляем его во второе уравнение вместо $x$: $3(8 - 2y) - y = 3$.

3. Решить полученное уравнение с одной переменной

Решаем это простое уравнение и находим численное значение одной из переменных.

В нашем примере:

$24 - 6y - y = 3$

$24 - 7y = 3$

$-7y = 3 - 24$

$-7y = -21$

$y = 3$

4. Найти значение второй переменной

Подставляем найденное на третьем шаге значение переменной в выражение, которое мы получили на первом шаге. Вычисляем значение второй переменной.

Мы нашли, что $y = 3$. Подставим это значение в выражение для $x$: $x = 8 - 2y = 8 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2$.

5. Записать ответ

Решением системы является пара чисел. Ответ принято записывать в круглых скобках, на первом месте значение $x$, на втором — значение $y$.

Для нашего примера решением будет пара $(2; 3)$.

Ответ: Суть метода подстановки заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую, а затем подставить это выражение во второе уравнение системы. Это позволяет перейти от системы двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной. После нахождения корня этого уравнения вычисляют значение и второй переменной.

2. Опишите алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки на примере решения системы $ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ x - y = 1. \end{cases} $

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки состоит из нескольких последовательных шагов. Рассмотрим этот алгоритм на примере решения следующей системы:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ x - y = 1. \end{cases} $

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую

Из любого уравнения системы необходимо выразить одну переменную через другую. Удобнее всего выбирать то уравнение и ту переменную, где коэффициент равен 1 или -1, чтобы избежать появления дробей. В данной системе во втором уравнении ($x - y = 1$) коэффициент при переменной $x$ равен 1. Выразим $x$ из этого уравнения.

$x - y = 1$

$x = 1 + y$

Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение

Теперь полученное на первом шаге выражение для переменной $x$ (то есть $1 + y$) нужно подставить во второе уравнение системы, то есть в то, которое мы не использовали на первом шаге. В нашем случае это первое уравнение: $2x + 3y = 7$. В результате мы получим уравнение с одной переменной $y$.

$2(1 + y) + 3y = 7$

Шаг 3: Решить полученное уравнение с одной переменной

Теперь решаем полученное на втором шаге уравнение относительно переменной $y$.

Раскрываем скобки: $2 \cdot 1 + 2 \cdot y + 3y = 7$

$2 + 2y + 3y = 7$

Приводим подобные слагаемые: $2 + 5y = 7$

Переносим свободный член в правую часть: $5y = 7 - 2$

$5y = 5$

Находим значение $y$: $y = \frac{5}{5}$

$y = 1$

Шаг 4: Найти значение второй переменной

Мы нашли значение одной переменной. Чтобы найти значение второй ($x$), нужно подставить найденное значение $y = 1$ в выражение, полученное на первом шаге: $x = 1 + y$.

$x = 1 + 1$

$x = 2$

Шаг 5: Записать ответ и выполнить проверку

Решением системы является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(2; 1)$. Для уверенности в правильности решения рекомендуется выполнить проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения.

Проверка:

Подставляем $x=2$ и $y=1$ в первое уравнение: $2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7$. Получаем $7 = 7$. Верно.

Подставляем $x=2$ и $y=1$ во второе уравнение: $2 - 1 = 1$. Получаем $1 = 1$. Верно.

Так как оба равенства верные, решение найдено правильно.

Ответ: $(2; 1)$

16.24 Туристы сначала плыли на теплоходе по реке 2 ч, а затем шли 5 ч пешком до конечного пункта. Известно, что по реке они проплыли в 3 раза большее расстояние, чем прошли пешком. Найдите скорости туристов и теплохода, если известно, что скорость теплохода на 26 км/ч больше скорости туристов. Сколько времени понадобилось бы туристам, чтобы пройти весь путь пешком?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_т$ — скорость туристов (пешком), км/ч.
• $v_х$ — скорость теплохода, км/ч.
• $t_т = 5$ ч — время, которое туристы шли пешком.
• $t_х = 2$ ч — время, которое туристы плыли на теплоходе.
• $S_т$ — расстояние, которое туристы прошли пешком, км.
• $S_х$ — расстояние, которое туристы проплыли на теплоходе, км.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, выразим пройденные расстояния:

$S_т = v_т \cdot t_т = 5v_т$

$S_х = v_х \cdot t_х = 2v_х$

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. По реке проплыли в 3 раза большее расстояние, чем прошли пешком: $S_х = 3S_т$.
2. Скорость теплохода на 26 км/ч больше скорости туристов: $v_х = v_т + 26$.

Найдите скорости туристов и теплохода

Подставим выражения для расстояний ($S_т$ и $S_х$) в первое уравнение из условий:

$2v_х = 3 \cdot (5v_т)$

$2v_х = 15v_т$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $v_х$ и $v_т$:

$\begin{cases} 2v_х = 15v_т \\ v_х = v_т + 26 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти скорость туристов $v_т$:

$2(v_т + 26) = 15v_т$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$2v_т + 52 = 15v_т$

$15v_т - 2v_т = 52$

$13v_т = 52$

$v_т = \frac{52}{13} = 4$ км/ч.

Теперь найдем скорость теплохода $v_х$, подставив найденное значение $v_т$ во второе уравнение системы:

$v_х = 4 + 26 = 30$ км/ч.

Ответ: скорость туристов – 4 км/ч, скорость теплохода – 30 км/ч.

Сколько времени понадобилось бы туристам, чтобы пройти весь путь пешком?

Сначала найдем общее расстояние, которое преодолели туристы. Для этого вычислим расстояния, которые они прошли пешком и проплыли на теплоходе, используя найденные скорости:

Расстояние, пройденное пешком: $S_т = 5 \cdot v_т = 5 \cdot 4 = 20$ км.

Расстояние, пройденное на теплоходе: $S_х = 2 \cdot v_х = 2 \cdot 30 = 60$ км.

Общее расстояние $S_{общ}$ равно сумме этих двух расстояний:

$S_{общ} = S_т + S_х = 20 + 60 = 80$ км.

Чтобы найти время, которое понадобилось бы туристам, чтобы пройти весь этот путь пешком, нужно общее расстояние разделить на скорость туристов ($v_т$):

$T_{пешком} = \frac{S_{общ}}{v_т} = \frac{80}{4} = 20$ часов.

Ответ: чтобы пройти весь путь пешком, туристам понадобилось бы 20 часов.

16.25 На велогонке по гористой местности спортсмен должен был двигаться сначала с горы, потом в гору, а затем в обратном направлении. Путь туда велосипедист преодолел с горы за 20 мин, в гору за 45 мин, а путь обратно — с горы за 25 мин, в гору за 35 мин. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы, если путь в одном направлении равен 17 км?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_с$ — скорость велосипедиста с горы (в км/ч).
• $v_в$ — скорость велосипедиста в гору (в км/ч).
• $S_1$ — длина участка спуска на пути «туда» (в км).
• $S_2$ — длина участка подъема на пути «туда» (в км).

По условию, общая длина пути в одном направлении составляет 17 км, следовательно:

$S_1 + S_2 = 17$

Переведем время из минут в часы для удобства расчетов:

• 20 мин = $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа
• 45 мин = $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа
• 25 мин = $\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$ часа
• 35 мин = $\frac{35}{60} = \frac{7}{12}$ часа

Теперь составим систему уравнений, используя формулу пути $S = v \cdot t$.

1. Путь «туда»

Велосипедист двигался с горы (участок $S_1$) 20 минут, а в гору (участок $S_2$) 45 минут.
$S_1 = v_с \cdot \frac{1}{3}$
$S_2 = v_в \cdot \frac{3}{4}$

Подставим эти выражения в уравнение общей длины пути:

$\frac{1}{3}v_с + \frac{3}{4}v_в = 17$ (Уравнение 1)

2. Путь «обратно»

На обратном пути участок, который был спуском ($S_1$), становится подъемом, а участок, который был подъемом ($S_2$), становится спуском.
Время на спуск (теперь это участок $S_2$) составило 25 минут.
$S_2 = v_с \cdot \frac{5}{12}$
Время на подъем (теперь это участок $S_1$) составило 35 минут.
$S_1 = v_в \cdot \frac{7}{12}$

Снова подставим эти выражения в уравнение общей длины пути:

$S_1 + S_2 = v_в \cdot \frac{7}{12} + v_с \cdot \frac{5}{12} = 17$

$\frac{5}{12}v_с + \frac{7}{12}v_в = 17$ (Уравнение 2)

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{3}v_с + \frac{3}{4}v_в = 17 \\ \frac{5}{12}v_с + \frac{7}{12}v_в = 17 \end{cases}$

Для удобства умножим оба уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей:

$12 \cdot (\frac{1}{3}v_с + \frac{3}{4}v_в) = 12 \cdot 17 \implies 4v_с + 9v_в = 204$

$12 \cdot (\frac{5}{12}v_с + \frac{7}{12}v_в) = 12 \cdot 17 \implies 5v_с + 7v_в = 204$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} 4v_с + 9v_в = 204 \\ 5v_с + 7v_в = 204 \end{cases}$

Решим ее методом подстановки или сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -4, чтобы исключить $v_с$:

$5 \cdot (4v_с + 9v_в) = 5 \cdot 204 \implies 20v_с + 45v_в = 1020$

$-4 \cdot (5v_с + 7v_в) = -4 \cdot 204 \implies -20v_с - 28v_в = -816$

Сложим полученные уравнения:

$(20v_с + 45v_в) + (-20v_с - 28v_в) = 1020 - 816$

$17v_в = 204$

$v_в = \frac{204}{17} = 12$

Итак, скорость в гору $v_в = 12$ км/ч.

Теперь подставим это значение в любое из упрощенных уравнений, например, в $4v_с + 9v_в = 204$:

$4v_с + 9 \cdot 12 = 204$

$4v_с + 108 = 204$

$4v_с = 204 - 108$

$4v_с = 96$

$v_с = \frac{96}{4} = 24$

Итак, скорость с горы $v_с = 24$ км/ч.

Проверим, соответствуют ли найденные скорости всем условиям задачи.
$S_1 = v_с \cdot \frac{1}{3} = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8$ км.
$S_2 = v_в \cdot \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$ км.
$S_1 + S_2 = 8 + 9 = 17$ км. Условие выполняется.
Проверим время на обратном пути:
Время на подъем по участку $S_1$: $t_{подъем} = \frac{S_1}{v_в} = \frac{8 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3}$ часа = 40 минут.
Время на спуск по участку $S_2$: $t_{спуск} = \frac{S_2}{v_с} = \frac{9 \text{ км}}{24 \text{ км/ч}} = \frac{3}{8}$ часа = 22,5 минуты.
В условии задачи указано, что время на обратном пути составило 35 минут в гору и 25 минут с горы. Наши расчеты дали 40 минут в гору и 22,5 минуты с горы. Это означает, что данные в условии задачи противоречивы. Однако, если предположить, что в задаче имеется в виду, что велосипедист проехал весь путь спуска (туда и обратно) и весь путь подъема (туда и обратно) за указанные времена, решение будет другим, но стандартный подход к таким задачам — составление системы уравнений, как показано выше. При строгом следовании условиям, система уравнений составляется единственным образом и приводит к приведенным выше скоростям, которые, однако, не удовлетворяют временным рамкам обратного пути. Принято считать, что в таких случаях ошибка в условии задачи. Если же задача должна быть решена, то единственное непротиворечивое решение получается из составленной системы уравнений.

Ответ: Скорость велосипедиста в гору составляет 12 км/ч, а скорость с горы — 24 км/ч. (Следует отметить, что при этих скоростях временные данные для обратного пути, указанные в условии, не выполняются, что указывает на противоречие в условии задачи).

16.26 Путь от туристической базы до моря пролегал сначала в гору, а затем с горы. От турбазы до моря туристы шли в гору 45 мин и с горы 40 мин, а обратно — в гору 1 ч 15 мин, а с горы 24 мин. Найдите длину каждого участка пути, если путь в одну сторону равен 6,4 км.

Решение:

Путь от турбазы до моря состоит из двух участков: подъем и спуск. Обозначим их длины и скорости туристов на них:

• $S_1$ — длина участка подъема от турбазы (в гору).
• $S_2$ — длина участка спуска от турбазы (с горы).
• $v_{в\ гору}$ — скорость туристов при движении в гору.
• $v_{с\ горы}$ — скорость туристов при движении с горы.

По условию, общая длина пути в одну сторону равна 6,4 км. Следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$S_1 + S_2 = 6.4$

Для дальнейших расчетов переведем время из минут и часов в часы:

• Время в гору до моря: 45 мин $= \frac{45}{60} = 0.75$ ч.
• Время с горы до моря: 40 мин $= \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ ч.
• Время в гору на обратном пути: 1 ч 15 мин = 75 мин $= \frac{75}{60} = 1.25$ ч.
• Время с горы на обратном пути: 24 мин $= \frac{24}{60} = 0.4$ ч.

Теперь составим уравнения, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$.

При движении от турбазы к морю:

1. Участок подъема $S_1$ был пройден со скоростью $v_{в\ гору}$ за 0.75 ч: $S_1 = v_{в\ гору} \cdot 0.75$

2. Участок спуска $S_2$ был пройден со скоростью $v_{с\ горы}$ за $\frac{2}{3}$ ч: $S_2 = v_{с\ горы} \cdot \frac{2}{3}$

При движении обратно от моря к турбазе, участок $S_1$ становится спуском, а участок $S_2$ — подъемом.

3. Участок $S_2$ (теперь подъем) был пройден со скоростью $v_{в\ гору}$ за 1.25 ч: $S_2 = v_{в\ гору} \cdot 1.25$

4. Участок $S_1$ (теперь спуск) был пройден со скоростью $v_{с\ горы}$ за 0.4 ч: $S_1 = v_{с\ горы} \cdot 0.4$

Теперь у нас есть система уравнений. Давайте найдем соотношение между $S_1$ и $S_2$.

Из уравнений (1) и (3) выразим $v_{в\ гору}$:

$v_{в\ гору} = \frac{S_1}{0.75}$

$v_{в\ гору} = \frac{S_2}{1.25}$

Приравняем правые части:

$\frac{S_1}{0.75} = \frac{S_2}{1.25} \implies 1.25 \cdot S_1 = 0.75 \cdot S_2$

Умножим обе части на 4 для избавления от дробей: $5 \cdot S_1 = 3 \cdot S_2$.

Отсюда $S_1 = \frac{3}{5} S_2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$S_1 + S_2 = 6.4$

$S_1 = \frac{3}{5} S_2$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{3}{5} S_2 + S_2 = 6.4$

$\frac{3}{5} S_2 + \frac{5}{5} S_2 = 6.4$

$\frac{8}{5} S_2 = 6.4$

Найдем $S_2$:

$S_2 = 6.4 \cdot \frac{5}{8} = \frac{32}{8} = 4$ км.

Теперь найдем $S_1$:

$S_1 = 6.4 - S_2 = 6.4 - 4 = 2.4$ км.

Итак, длина участка, который является подъемом на пути от турбазы к морю, равна 2,4 км, а длина участка, который является спуском, — 4 км.

Ответ: Длина участка пути в гору составляет 2,4 км, а длина участка пути с горы — 4 км.

16.27 По окружности, длина которой 100 см, движутся равномерно две точки. Они встречаются через каждые 4 с, двигаясь в противоположных направлениях, и через каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Найдите скорости этих точек.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первой и второй точек соответственно, измеряемые в см/с. Длина окружности $L = 100$ см.

1. Движение в противоположных направлениях

Когда точки движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t_1 = 4$ с они встречаются, что означает, что суммарно они проходят расстояние, равное длине окружности $L$.

Составим уравнение, используя формулу $S = v \cdot t$:

$L = (v_1 + v_2) \cdot t_1$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 + v_2) \cdot 4$

Отсюда найдем сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{100}{4} = 25$

2. Движение в одном направлении

Когда точки движутся в одном направлении, одна точка (более быстрая) догоняет другую (более медленную). Предположим, что $v_1 > v_2$. Их относительная скорость, с которой быстрая точка догоняет медленную, равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.

Чтобы они встретились, более быстрая точка должна пройти расстояние на одну длину окружности $L$ больше, чем медленная. Время, за которое это происходит, равно $t_2 = 20$ с.

Составим второе уравнение:

$L = (v_1 - v_2) \cdot t_2$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 - v_2) \cdot 20$

Отсюда найдем разность скоростей:

$v_1 - v_2 = \frac{100}{20} = 5$

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 25 \\ v_1 - v_2 = 5 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 25 + 5$

$2v_1 = 30$

$v_1 = \frac{30}{2} = 15$

Подставим найденное значение $v_1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $v_2$:

$15 + v_2 = 25$

$v_2 = 25 - 15 = 10$

Таким образом, скорости точек равны 15 см/с и 10 см/с.

Ответ: 15 см/с и 10 см/с.

16.28 Буратино положил в копилку 59 р. пятирублёвыми и двухрублёвыми монетами. В течение некоторого времени он докладывал туда деньги теми же монетами. Когда Буратино вскрыл копилку, он обнаружил, что пятирублёвых монет стало в 2 раза больше, чем было, а двухрублёвых — в 3 раза больше, чем было, при этом денег пятирублёвыми монетами стало на 2 р. меньше, чем двухрублёвыми. Сколько монет каждого достоинства было в копилке первоначально?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество пятирублёвых монет, а $y$ — первоначальное количество двухрублёвых монет.

Составление системы уравнений по условиям задачи.
Из первого условия известно, что первоначальная сумма в копилке была 59 рублей. Это можно выразить следующим уравнением:
$5x + 2y = 59$

Из второго условия следует, что после пополнения копилки количество пятирублёвых монет стало в 2 раза больше ($2x$), а двухрублёвых — в 3 раза больше ($3y$). Сумма денег, представленная новыми пятирублёвыми монетами, составила $5 \cdot (2x) = 10x$ рублей. Сумма денег двухрублёвыми монетами стала $2 \cdot (3y) = 6y$ рублей.
Также известно, что итоговая сумма пятирублёвыми монетами на 2 рубля меньше итоговой суммы двухрублёвыми. Это даёт нам второе уравнение:
$10x = 6y - 2$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} 5x + 2y = 59 \\ 10x = 6y - 2 \end{cases} $

Решение системы уравнений.
Сначала упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:
$5x = 3y - 1$
Теперь мы можем подставить полученное выражение для $5x$ в первое уравнение системы:
$(3y - 1) + 2y = 59$
Теперь решим это уравнение относительно $y$:
$5y - 1 = 59$
$5y = 59 + 1$
$5y = 60$
$y = \frac{60}{5}$
$y = 12$
Мы нашли, что первоначально в копилке было 12 двухрублёвых монет.

Теперь, зная значение $y$, найдём $x$, подставив $y=12$ в упрощенное второе уравнение $5x = 3y - 1$:
$5x = 3 \cdot (12) - 1$
$5x = 36 - 1$
$5x = 35$
$x = \frac{35}{5}$
$x = 7$
Следовательно, первоначально в копилке было 7 пятирублёвых монет.

Проверка.
Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи.
1. Начальная сумма: $5 \cdot 7 + 2 \cdot 12 = 35 + 24 = 59$ рублей. Верно.
2. Конечная сумма пятирублёвыми монетами: $10x = 10 \cdot 7 = 70$ рублей.
3. Конечная сумма двухрублёвыми монетами: $6y = 6 \cdot 12 = 72$ рубля.
4. Разница: $72 - 70 = 2$ рубля. Сумма пятирублёвыми на 2 рубля меньше. Верно.
Все условия задачи выполняются.

Ответ: первоначально в копилке было 7 пятирублёвых монет и 12 двухрублёвых монет.

16.29 В магазин поступили учебники по физике и математике. Когда продали 50 % учебников по математике и 20 % учебников по физике, что составило в общей сложности 390 книг, учебников по математике осталось в 3 раза больше, чем по физике. Сколько учебников по математике и сколько по физике поступило в магазин?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $M$ — это первоначальное количество учебников по математике, а $P$ — первоначальное количество учебников по физике.

Согласно условию, было продано 50% учебников по математике (то есть $0.5M$) и 20% учебников по физике (то есть $0.2P$). В общей сложности это составило 390 книг. На основе этих данных мы можем составить первое уравнение:
$0.5M + 0.2P = 390$

После продажи в магазине осталось $100\% - 50\% = 50\%$ учебников по математике, что составляет $0.5M$, и $100\% - 20\% = 80\%$ учебников по физике, что составляет $0.8P$.
В условии сказано, что оставшихся учебников по математике было в 3 раза больше, чем по физике. Это позволяет нам составить второе уравнение:
$0.5M = 3 \times (0.8P)$
$0.5M = 2.4P$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 0.5M + 0.2P = 390 \\ 0.5M = 2.4P \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $0.5M$ из второго уравнения в первое:
$(2.4P) + 0.2P = 390$
$2.6P = 390$
Теперь найдем значение $P$:
$P = \frac{390}{2.6} = \frac{3900}{26} = 150$
Следовательно, в магазин первоначально поступило 150 учебников по физике.

Зная значение $P$, мы можем найти $M$, используя второе уравнение:
$0.5M = 2.4P$
$0.5M = 2.4 \times 150$
$0.5M = 360$
$M = 360 \times 2 = 720$
Следовательно, в магазин первоначально поступило 720 учебников по математике.

Ответ: в магазин поступило 720 учебников по математике и 150 учебников по физике.

16.30 Среднее арифметическое двух чисел равно 185. Если одно число разделить на другое, то в частном получится 2 и в остатке 40. Найдите эти числа.

Обозначим искомые числа как $a$ и $b$.

Согласно первому условию, среднее арифметическое этих чисел равно 185. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{a + b}{2} = 185$

Отсюда можем найти сумму этих чисел, умножив обе части уравнения на 2:

$a + b = 185 \cdot 2$

$a + b = 370$

Согласно второму условию, если одно число (пусть это будет $a$) разделить на другое ($b$), то в частном получится 2 и в остатке 40. Это можно выразить с помощью формулы деления с остатком: $a = q \cdot b + r$, где $q$ — частное, а $r$ — остаток.

Подставив известные значения, получим второе уравнение:

$a = 2b + 40$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 370 \\ a = 2b + 40 \end{cases}$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$(2b + 40) + b = 370$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:

$3b + 40 = 370$

$3b = 370 - 40$

$3b = 330$

$b = \frac{330}{3}$

$b = 110$

Теперь, когда мы нашли значение $b$, подставим его во второе уравнение, чтобы найти $a$:

$a = 2 \cdot 110 + 40$

$a = 220 + 40$

$a = 260$

Таким образом, искомые числа — 260 и 110. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи. Среднее арифметическое: $\frac{260 + 110}{2} = \frac{370}{2} = 185$. Деление: $260$ при делении на $110$ дает в частном $2$ и в остатке $40$ ($260 = 2 \cdot 110 + 40$). Оба условия выполняются.

Ответ: 260 и 110.