Номер 16.24, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.24 Туристы сначала плыли на теплоходе по реке 2 ч, а затем шли 5 ч пешком до конечного пункта. Известно, что по реке они проплыли в 3 раза большее расстояние, чем прошли пешком. Найдите скорости туристов и теплохода, если известно, что скорость теплохода на 26 км/ч больше скорости туристов. Сколько времени понадобилось бы туристам, чтобы пройти весь путь пешком?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_т$ — скорость туристов (пешком), км/ч.
• $v_х$ — скорость теплохода, км/ч.
• $t_т = 5$ ч — время, которое туристы шли пешком.
• $t_х = 2$ ч — время, которое туристы плыли на теплоходе.
• $S_т$ — расстояние, которое туристы прошли пешком, км.
• $S_х$ — расстояние, которое туристы проплыли на теплоходе, км.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, выразим пройденные расстояния:

$S_т = v_т \cdot t_т = 5v_т$

$S_х = v_х \cdot t_х = 2v_х$

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. По реке проплыли в 3 раза большее расстояние, чем прошли пешком: $S_х = 3S_т$.
2. Скорость теплохода на 26 км/ч больше скорости туристов: $v_х = v_т + 26$.

Найдите скорости туристов и теплохода

Подставим выражения для расстояний ($S_т$ и $S_х$) в первое уравнение из условий:

$2v_х = 3 \cdot (5v_т)$

$2v_х = 15v_т$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $v_х$ и $v_т$:

$\begin{cases} 2v_х = 15v_т \\ v_х = v_т + 26 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти скорость туристов $v_т$:

$2(v_т + 26) = 15v_т$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$2v_т + 52 = 15v_т$

$15v_т - 2v_т = 52$

$13v_т = 52$

$v_т = \frac{52}{13} = 4$ км/ч.

Теперь найдем скорость теплохода $v_х$, подставив найденное значение $v_т$ во второе уравнение системы:

$v_х = 4 + 26 = 30$ км/ч.

Ответ: скорость туристов – 4 км/ч, скорость теплохода – 30 км/ч.

Сколько времени понадобилось бы туристам, чтобы пройти весь путь пешком?

Сначала найдем общее расстояние, которое преодолели туристы. Для этого вычислим расстояния, которые они прошли пешком и проплыли на теплоходе, используя найденные скорости:

Расстояние, пройденное пешком: $S_т = 5 \cdot v_т = 5 \cdot 4 = 20$ км.

Расстояние, пройденное на теплоходе: $S_х = 2 \cdot v_х = 2 \cdot 30 = 60$ км.

Общее расстояние $S_{общ}$ равно сумме этих двух расстояний:

$S_{общ} = S_т + S_х = 20 + 60 = 80$ км.

Чтобы найти время, которое понадобилось бы туристам, чтобы пройти весь этот путь пешком, нужно общее расстояние разделить на скорость туристов ($v_т$):

$T_{пешком} = \frac{S_{общ}}{v_т} = \frac{80}{4} = 20$ часов.

Ответ: чтобы пройти весь путь пешком, туристам понадобилось бы 20 часов.