Номер 16.21, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.21 Среднее арифметическое двух чисел равно $32.5$. Найдите эти числа, если известно, что $30 \%$ одного из них на $0.25$ больше, чем $25 \%$ другого.

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$.

Из первого условия задачи известно, что среднее арифметическое этих чисел равно 32,5. Составим уравнение на основе этого условия: $$ \frac{x + y}{2} = 32,5 $$ Умножив обе части уравнения на 2, получим: $$ x + y = 65 $$

Второе условие гласит, что 30% одного из чисел на 0,25 больше, чем 25% другого. Выразим проценты в виде десятичных дробей: $30\% = 0,3$ и $25\% = 0,25$. Представим это условие в виде второго уравнения, предположив, что речь идет о 30% от числа $x$ и 25% от числа $y$: $$ 0,3x = 0,25y + 0,25 $$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} x + y = 65 \\ 0,3x = 0,25y + 0,25 \end{cases} $$

Решим эту систему. Сначала выразим $x$ из первого уравнения: $$ x = 65 - y $$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $$ 0,3(65 - y) = 0,25y + 0,25 $$ Раскроем скобки: $$ 19,5 - 0,3y = 0,25y + 0,25 $$

Соберем все слагаемые с $y$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой: $$ 19,5 - 0,25 = 0,25y + 0,3y $$ $$ 19,25 = 0,55y $$ Теперь найдем $y$: $$ y = \frac{19,25}{0,55} $$ Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100: $$ y = \frac{1925}{55} $$ Выполним деление: $$ y = 35 $$

Зная $y$, найдем $x$ из уравнения $x = 65 - y$: $$ x = 65 - 35 $$ $$ x = 30 $$

Итак, мы нашли два числа: 30 и 35. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи. Среднее арифметическое: $\frac{30 + 35}{2} = \frac{65}{2} = 32,5$. Первое условие выполняется. Проверим второе условие: 30% от числа 30 равно $0,3 \times 30 = 9$. 25% от числа 35 равно $0,25 \times 35 = 8,75$. Разница составляет $9 - 8,75 = 0,25$. Второе условие также выполняется.

Ответ: 30 и 35.