Номер 16.27, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.27 По окружности, длина которой 100 см, движутся равномерно две точки. Они встречаются через каждые 4 с, двигаясь в противоположных направлениях, и через каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Найдите скорости этих точек.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первой и второй точек соответственно, измеряемые в см/с. Длина окружности $L = 100$ см.

1. Движение в противоположных направлениях

Когда точки движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t_1 = 4$ с они встречаются, что означает, что суммарно они проходят расстояние, равное длине окружности $L$.

Составим уравнение, используя формулу $S = v \cdot t$:

$L = (v_1 + v_2) \cdot t_1$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 + v_2) \cdot 4$

Отсюда найдем сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{100}{4} = 25$

2. Движение в одном направлении

Когда точки движутся в одном направлении, одна точка (более быстрая) догоняет другую (более медленную). Предположим, что $v_1 > v_2$. Их относительная скорость, с которой быстрая точка догоняет медленную, равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.

Чтобы они встретились, более быстрая точка должна пройти расстояние на одну длину окружности $L$ больше, чем медленная. Время, за которое это происходит, равно $t_2 = 20$ с.

Составим второе уравнение:

$L = (v_1 - v_2) \cdot t_2$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 - v_2) \cdot 20$

Отсюда найдем разность скоростей:

$v_1 - v_2 = \frac{100}{20} = 5$

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 25 \\ v_1 - v_2 = 5 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 25 + 5$

$2v_1 = 30$

$v_1 = \frac{30}{2} = 15$

Подставим найденное значение $v_1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $v_2$:

$15 + v_2 = 25$

$v_2 = 25 - 15 = 10$

Таким образом, скорости точек равны 15 см/с и 10 см/с.

Ответ: 15 см/с и 10 см/с.