Номер 16.34, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.34 Имеются две отливки стали двух сортов, одна из которых содержит $5 \%$, а другая — $10 \%$ никеля. Сплавив их вместе, получили отливку, содержащую $8 \%$ никеля. Найдите массу каждой отливки до переплавки, если известно, что вторая отливка содержала никеля на 4 т больше, чем первая.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $m_1$ — масса первой отливки в тоннах, а $m_2$ — масса второй отливки в тоннах.

Первая отливка содержит 5% никеля. Это означает, что масса чистого никеля в первой отливке составляет:
$n_1 = 0.05 \cdot m_1$

Вторая отливка содержит 10% никеля. Масса чистого никеля во второй отливке составляет:
$n_2 = 0.10 \cdot m_2$

Из условия известно, что вторая отливка содержала никеля на 4 тонны больше, чем первая. На основе этого можно составить первое уравнение:
$n_2 = n_1 + 4$
Подставив выражения для масс никеля, получим:
$0.10 \cdot m_2 = 0.05 \cdot m_1 + 4$

Далее, две отливки сплавили вместе. Масса нового сплава будет равна сумме масс исходных отливок, то есть $m_{общ} = m_1 + m_2$. Масса никеля в новом сплаве будет равна сумме масс никеля в исходных отливках, то есть $n_{общ} = n_1 + n_2 = 0.05 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2$.

В полученной отливке содержание никеля составляет 8%. Это позволяет нам составить второе уравнение:
$n_{общ} = 0.08 \cdot m_{общ}$
$0.05 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2 = 0.08 \cdot (m_1 + m_2)$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $m_1$ и $m_2$:
$\begin{cases} 0.10 \cdot m_2 = 0.05 \cdot m_1 + 4 \\ 0.05 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2 = 0.08 \cdot (m_1 + m_2) \end{cases}$

Начнем с упрощения второго уравнения:
$0.05 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2 = 0.08 \cdot m_1 + 0.08 \cdot m_2$
Перенесем члены с $m_1$ в одну сторону, а с $m_2$ — в другую:
$0.10 \cdot m_2 - 0.08 \cdot m_2 = 0.08 \cdot m_1 - 0.05 \cdot m_1$
$0.02 \cdot m_2 = 0.03 \cdot m_1$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100:
$2 \cdot m_2 = 3 \cdot m_1$
Отсюда выразим $m_2$ через $m_1$:
$m_2 = \frac{3}{2} m_1 = 1.5 \cdot m_1$

Теперь подставим полученное выражение для $m_2$ в первое уравнение системы:
$0.10 \cdot (1.5 \cdot m_1) = 0.05 \cdot m_1 + 4$
$0.15 \cdot m_1 = 0.05 \cdot m_1 + 4$
$0.15 \cdot m_1 - 0.05 \cdot m_1 = 4$
$0.10 \cdot m_1 = 4$
$m_1 = \frac{4}{0.10}$
$m_1 = 40$

Таким образом, масса первой отливки составляет 40 тонн. Теперь найдем массу второй отливки:
$m_2 = 1.5 \cdot m_1 = 1.5 \cdot 40 = 60$

Масса второй отливки составляет 60 тонн.

Ответ: масса первой отливки — 40 т, масса второй отливки — 60 т.