Номер 16.38, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.38 Какое двузначное число обладает следующим свойством: если между его цифрами поместить цифру 0, то число увеличится в 6 раз?

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда значение этого числа можно представить в виде $10a + b$. При этом, так как число двузначное, $a$ не может быть нулём ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ может быть любой цифрой ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Если между его цифрами поместить цифру 0, то получится трехзначное число, у которого $a$ — цифра сотен, 0 — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Значение нового числа будет равно $100a + 0 \cdot 10 + b = 100a + b$.

По условию задачи, новое число в 6 раз больше исходного. Мы можем составить уравнение: $100a + b = 6 \cdot (10a + b)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $a$ и $b$: $100a + b = 60a + 6b$
$100a - 60a = 6b - b$
$40a = 5b$
Разделим обе части уравнения на 5: $8a = b$

Теперь найдем подходящие цифры $a$ и $b$. Вспомним, что $a$ — это цифра от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9.

• Если $a=1$, то $b = 8 \cdot 1 = 8$. Это допустимые значения для цифр. Искомое число — 18. Проверим: новое число 108. $18 \cdot 6 = 108$. Условие выполняется.
• Если $a=2$, то $b = 8 \cdot 2 = 16$. Это значение недопустимо, так как $b$ должно быть однозначным числом (цифрой).

При значениях $a > 1$ значение $b$ будет больше 9, что невозможно. Таким образом, существует только одно решение.

Ответ: 18