Номер 17.4, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 17. Нечисловые ряды данных - номер 17.4, страница 86.

Условие.

17.4 Даны системы уравнений:

$\begin{cases} 3x - 6y + 5 = 0 \\ 2y = x - 7 \end{cases}$ $\begin{cases} y = 6x + 7 \\ \frac{y - 7}{3} = 2x \end{cases}$ $\begin{cases} x + 5y - 7 = 0 \\ y = x + 7 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x + 1,5y = 16 \\ y = 5 - \frac{8x}{3} \end{cases}$ $\begin{cases} 9x - 2y + 11 = 0 \\ y = x - 11 \end{cases}$

Из данных систем уравнений случайным образом выбирают одну. Какова вероятность того, что выбранная система:

а) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет хотя бы одно решение;

г) имеет единственное решение?

Решение 8.

Для решения задачи сначала проанализируем каждую из пяти систем уравнений, чтобы определить количество решений. Система линейных уравнений вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ имеет:

• одно решение, если угловые коэффициенты не равны: $k_1 \ne k_2$;
• бесконечно много решений, если угловые коэффициенты и свободные члены равны: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$;
• не имеет решений, если угловые коэффициенты равны, а свободные члены не равны: $k_1 = k_2$ и $b_1 \ne b_2$.

Приведем уравнения в каждой системе к виду $y = kx + b$.

1. Система $\{_{2y = x - 7}^{3x - 6y + 5 = 0}$

• Первое уравнение: $3x - 6y + 5 = 0 \Rightarrow 6y = 3x + 5 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{6}$.
• Второе уравнение: $2y = x - 7 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$.

Угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$), а свободные члены нет ($b_1 \ne b_2$). Следовательно, система не имеет решений.

2. Система $\{_{ \frac{y-7}{3} = 2x }^{y = 6x + 7}$

• Первое уравнение: $y = 6x + 7$.
• Второе уравнение: $\frac{y - 7}{3} = 2x \Rightarrow y - 7 = 6x \Rightarrow y = 6x + 7$.

Уравнения идентичны ($k_1 = k_2 = 6$, $b_1 = b_2 = 7$). Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

3. Система $\{_{y = x + 7}^{x + 5y - 7 = 0}$

• Первое уравнение: $x + 5y - 7 = 0 \Rightarrow 5y = -x + 7 \Rightarrow y = -\frac{1}{5}x + \frac{7}{5}$.
• Второе уравнение: $y = x + 7$.

Угловые коэффициенты не равны ($k_1 = -\frac{1}{5}$, $k_2 = 1$). Следовательно, система имеет единственное решение.

4. Система $\{_{y = 5 - \frac{8x}{3}}^{4x + 1,5y = 16}$

• Первое уравнение: $4x + 1,5y = 16 \Rightarrow 1,5y = -4x + 16 \Rightarrow y = -\frac{4}{1,5}x + \frac{16}{1,5} \Rightarrow y = -\frac{8}{3}x + \frac{32}{3}$.
• Второе уравнение: $y = 5 - \frac{8x}{3} \Rightarrow y = -\frac{8}{3}x + 5$.

Угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = -\frac{8}{3}$), а свободные члены нет ($b_1 \ne b_2$). Следовательно, система не имеет решений.

5. Система $\{_{y = x - 11}^{9x - 2y + 11 = 0}$

• Первое уравнение: $9x - 2y + 11 = 0 \Rightarrow 2y = 9x + 11 \Rightarrow y = \frac{9}{2}x + \frac{11}{2}$.
• Второе уравнение: $y = x - 11$.

Угловые коэффициенты не равны ($k_1 = \frac{9}{2}$, $k_2 = 1$). Следовательно, система имеет единственное решение.

Итоги анализа:

• Не имеют решений: 2 системы (1-я и 4-я).
• Имеют бесконечно много решений: 1 система (2-я).
• Имеют единственное решение: 2 системы (3-я и 5-я).

Всего дано 5 систем. Вероятность события - это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

а) не имеет решений;

Число систем, не имеющих решений, равно 2. Общее число систем равно 5. Вероятность выбрать такую систему: $P = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

б) имеет бесконечно много решений;

Число систем, имеющих бесконечно много решений, равно 1. Общее число систем равно 5. Вероятность выбрать такую систему: $P = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

в) имеет хотя бы одно решение;

Событие "имеет хотя бы одно решение" означает, что система имеет либо одно решение, либо бесконечно много решений. Число таких систем равно $2 + 1 = 3$. Вероятность выбрать такую систему: $P = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

г) имеет единственное решение?

Число систем, имеющих единственное решение, равно 2. Общее число систем равно 5. Вероятность выбрать такую систему: $P = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$