Страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Расскажите, в чём суть метода алгебраического сложения при решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

1. Метод алгебраического сложения — это один из способов решения систем линейных уравнений. Его основная идея заключается в том, чтобы преобразовать уравнения системы так, чтобы при их сложении (или вычитании) одна из переменных взаимно уничтожилась. Это позволяет получить одно уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Рассмотрим алгоритм этого метода на примере общей системы двух линейных уравнений с переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Шаги решения методом алгебраического сложения:

1. Подготовка к сложению. Необходимо уравнять модули коэффициентов при одной из переменных. Для этого подбираются такие множители для каждого уравнения, чтобы после умножения коэффициенты при одной из переменных (например, $y$) стали противоположными числами (например, $k$ и $-k$). Если коэффициенты при какой-либо переменной уже являются противоположными или равными, этот шаг пропускается.

2. Алгебраическое сложение. Уравнения системы складываются почленно: левая часть одного уравнения складывается с левой частью другого, а правая — с правой. В результате получается новое уравнение, в котором отсутствует переменная, коэффициенты при которой были сделаны противоположными.

3. Решение полученного уравнения. Решается простое линейное уравнение с одной переменной, полученное на предыдущем шаге, и находится значение этой переменной.

4. Нахождение второй переменной. Полученное значение подставляется в любое из исходных уравнений системы. Затем решается полученное уравнение и находится значение второй переменной.

5. Запись ответа. Решение системы записывается в виде пары упорядоченных чисел $(x; y)$.

Пример:

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} $

1. Уравняем коэффициенты при переменной $y$. Для этого умножим первое уравнение на $2$, а второе — на $3$. В результате коэффициенты при $y$ станут $-6$ и $6$ (противоположные числа).

$ \begin{cases} (4x - 3y) \cdot 2 = 1 \cdot 2 \\ (3x + 2y) \cdot 3 = 5 \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x - 6y = 2 \\ 9x + 6y = 15 \end{cases} $

2. Сложим полученные уравнения:

$(8x - 6y) + (9x + 6y) = 2 + 15$

$17x = 17$

3. Решим это уравнение:

$x = 1$

4. Подставим найденное значение $x = 1$ во второе исходное уравнение ($3x + 2y = 5$):

$3 \cdot 1 + 2y = 5$

$3 + 2y = 5$

$2y = 2$

$y = 1$

5. Решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: Суть метода алгебраического сложения заключается в преобразовании уравнений системы (путем умножения на числа) с целью сделать коэффициенты при одной из переменных противоположными. Последующее сложение уравнений приводит к исключению этой переменной и получению простого уравнения с одной неизвестной. Найдя ее значение, его подставляют в одно из исходных уравнений, чтобы найти значение второй переменной.

2. Прокомментируйте метод алгебраического сложения на при-

мере решения системы уравнений:

a) $\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 4x - 3y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 3x - y = 5. \end{cases}$

а) Метод алгебраического сложения заключается в том, чтобы сложить или вычесть уравнения системы с целью исключить одну из переменных.
Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 4x - 3y = 5; \end{cases} $
1. Заметим, что коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$). Это означает, что если мы сложим два уравнения, слагаемые с $y$ взаимно уничтожатся.
2. Сложим левые и правые части уравнений почленно:
$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$
$2x + 4x + 3y - 3y = 12$
$6x = 12$
3. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$x = 12 / 6$
$x = 2$
4. Теперь, когда мы нашли значение одной переменной, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти вторую переменную. Подставим $x = 2$ в первое уравнение $2x + 3y = 7$:
$2 \cdot 2 + 3y = 7$
$4 + 3y = 7$
$3y = 7 - 4$
$3y = 3$
$y = 1$
5. Таким образом, решение системы — пара чисел $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$.

б) В данном случае коэффициенты при переменных не являются противоположными.
Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 3x - y = 5. \end{cases} $
1. Чтобы использовать метод сложения, нужно сначала преобразовать одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Посмотрим на коэффициенты при $y$: это $3$ и $-1$. Если мы умножим второе уравнение на $3$, то коэффициент при $y$ станет $-3$, что является противоположным числу $3$ в первом уравнении.
2. Умножим все члены второго уравнения на $3$:
$3(3x - y) = 3 \cdot 5$
$9x - 3y = 15$
3. Теперь наша система выглядит так:
$ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 9x - 3y = 15. \end{cases} $
4. Теперь, как и в предыдущем примере, сложим уравнения почленно, чтобы исключить $y$:
$(2x + 3y) + (9x - 3y) = 7 + 15$
$11x = 22$
5. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$x = 22 / 11$
$x = 2$
6. Подставим найденное значение $x = 2$ в одно из исходных уравнений (удобнее взять второе, $3x - y = 5$):
$3 \cdot 2 - y = 5$
$6 - y = 5$
$-y = 5 - 6$
$-y = -1$
$y = 1$
7. Решение системы — пара чисел $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$.

3. Решите систему уравнений $\begin{cases} x + y = 12, \\ x - y = 8, \end{cases}$ дважды применив метод алгебраического сложения.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 8 \end{cases} $

Согласно условию, решим систему, применив метод алгебраического сложения дважды: сначала для нахождения переменной x, а затем для нахождения переменной y.

Первое применение метода сложения (для нахождения x)

Чтобы найти x, сложим почленно левые и правые части уравнений системы. Коэффициенты при переменной y ($1$ и $-1$) являются противоположными числами, поэтому при сложении слагаемые с y взаимно уничтожатся.

$(x + y) + (x - y) = 12 + 8$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x + y + x - y = 20$

$2x = 20$

Отсюда находим значение x:

$x = \frac{20}{2}$

$x = 10$

Второе применение метода сложения (для нахождения y)

Чтобы найти y, необходимо исключить переменную x. Для этого вычтем из первого уравнения системы второе. Вычитание одного уравнения из другого является разновидностью метода алгебраического сложения (сложение с уравнением, умноженным на $-1$).

$(x + y) - (x - y) = 12 - 8$

Раскрываем скобки. Важно помнить, что знак перед вторым слагаемым в скобке меняется на противоположный:

$x + y - x + y = 4$

Приводим подобные слагаемые:

$2y = 4$

Отсюда находим значение y:

$y = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Проверим найденное решение $(10; 2)$, подставив значения в исходную систему:

$ \begin{cases} 10 + 2 = 12 \\ 10 - 2 = 8 \end{cases} \implies \begin{cases} 12 = 12 \\ 8 = 8 \end{cases} $

Оба равенства верны, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $(10; 2)$.

4. Как вы считаете, в каких случаях при решении системы линейных уравнений с двумя переменными метод алгебраического сложения использовать удобнее, чем метод подстановки?

При решении систем линейных уравнений с двумя переменными выбор между методом алгебраического сложения и методом подстановки зависит от конкретного вида уравнений, а именно от коэффициентов при переменных. Метод алгебраического сложения является более удобным и эффективным в следующих основных случаях.

Случай 1: Коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами

Это самый простой и очевидный случай для применения метода сложения. Если в двух уравнениях коэффициенты при $x$ или при $y$ являются противоположными числами (например, $5$ и $-5$), то при почленном сложении этих уравнений данная переменная взаимно уничтожается. Это позволяет мгновенно перейти к уравнению с одной переменной.

Пример:

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 1 \\ 3x - 5y = 9 \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $y$ — это $5$ и $-5$. Сложим левые и правые части уравнений:

$(2x + 5y) + (3x - 5y) = 1 + 9$

$5x = 10$

$x = 2$

Вычисление получается очень быстрым. В то время как при использовании метода подстановки пришлось бы выражать одну переменную через другую, что привело бы к появлению дробей (например, $y = \frac{1 - 2x}{5}$), и дальнейшие вычисления стали бы более громоздкими.

Ответ: Метод сложения удобнее, когда коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях являются противоположными числами.

Случай 2: Коэффициенты при одной из переменных равны

Если коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях одинаковы, то для исключения этой переменной можно вычесть одно уравнение из другого. Это является частным случаем метода алгебраического сложения (вычитание эквивалентно сложению с уравнением, умноженным на $-1$).

Пример:

$ \begin{cases} 7x + 2y = 12 \\ 4x + 2y = 6 \end{cases} $

Коэффициенты при $y$ равны. Вычтем второе уравнение из первого:

$(7x + 2y) - (4x + 2y) = 12 - 6$

$3x = 6$

$x = 2$

Как и в предыдущем случае, мы избегаем дробных выражений, которые появились бы при использовании метода подстановки.

Ответ: Метод сложения (через вычитание) удобнее, когда коэффициенты при одной из переменных в уравнениях равны.

Случай 3: Коэффициенты при одной из переменных можно легко сделать равными или противоположными

Это наиболее общий случай. Метод сложения очень удобен, когда ни один из коэффициентов не равен $1$ или $-1$, но коэффициенты при одной из переменных можно легко привести к общему модулю путем умножения одного или обоих уравнений на целые числа.

Пример:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{cases} $

Здесь нет ни равных, ни противоположных коэффициентов. Однако, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($6y$ и $-6y$), можно умножить первое уравнение на $3$, а второе на $2$:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 7 & |\cdot 3 \\ 4x - 3y = -2 & |\cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 9x + 6y = 21 \\ 8x - 6y = -4 \end{cases} $

Теперь система приведена к Случаю 1. Складываем уравнения:

$(9x + 6y) + (8x - 6y) = 21 + (-4)$

$17x = 17$

$x = 1$

Попытка решить эту систему методом подстановки (например, выразив $x = \frac{7 - 2y}{3}$) сразу же привела бы к сложным вычислениям с дробями, что повышает вероятность ошибки.

Ответ: Метод сложения удобнее, когда ни одна из переменных не выражается легко (т.е. нет коэффициентов $1$ или $-1$), но коэффициенты можно сделать равными или противоположными путем домножения уравнений на небольшие целые множители.

Таким образом, можно сделать общий вывод: метод алгебраического сложения предпочтительнее метода подстановки тогда, когда выражение одной переменной через другую приводит к появлению дробных коэффициентов. Метод сложения позволяет избежать работы с дробями, что делает решение более простым и менее подверженным ошибкам.

17.3 (Продолжение задачи 17.2) В тот же день в другом киоске той же фирмы произвели подсчёт распределения такого же общего количества проданного мороженого. Однако результаты сразу перевели в проценты. Получилось вот что:

Сорт мороженого Сколько продано, %

№ 1 12

№ 2 5

№ 3 7

№ 4 15

№ 5 14

№ 6 15

№ 7 8

№ 8 3

№ 9 2

№ 10 2

№ 11 7

№ 12 2

№ 13 3

№ 14 4

№ 15 1

а) Сколько штук самого дорогого сорта — сорта № 15 — было продано?

б) Сколько штук дешёвых сортов № 1–5 было продано?

в) По результатам продаж двух киосков определите процентную долю трёх самых популярных сортов.

г) Фирма заказывает партию из 10 000 штук мороженого для 50 киосков. Сколько примерно штук мороженого сорта № 5 разумно заказать?

а) Из условия задачи следует, что общее количество проданного мороженого в этом киоске такое же, как и в киоске из предыдущей задачи (17.2), то есть 500 штук. Сорт № 15, самый дорогой, составляет 1% от общего объема продаж. Чтобы найти количество проданных штук этого сорта, нужно вычислить 1% от 500: $500 \cdot \frac{1}{100} = 5$ штук.
Ответ: 5 штук.

б) К дешёвым сортам относятся сорта с № 1 по № 5. Для начала найдем их общую долю в процентах, сложив их индивидуальные процентные доли из таблицы:$12\% + 5\% + 7\% + 15\% + 14\% = 53\%$.Теперь рассчитаем, сколько это составляет штук от общего количества в 500 штук:$500 \cdot \frac{53}{100} = 265$ штук.
Ответ: 265 штук.

в) Чтобы определить общую долю трёх самых популярных сортов по результатам продаж в двух киосках, необходимо сначала посчитать общее количество проданного мороженого каждого сорта. Общее количество проданного мороженого в двух киосках составляет $500 + 500 = 1000$ штук.
Используя данные о продажах в первом киоске (из задачи 17.2, где было продано 500 шт.) и во втором (данные из таблицы в текущей задаче), рассчитаем суммарные продажи по каждому сорту.
Пример расчета для нескольких сортов:
Сорт № 1: $500 \cdot 0,10 + 500 \cdot 0,12 = 50 + 60 = 110$ шт.
Сорт № 4: $500 \cdot 0,08 + 500 \cdot 0,15 = 40 + 75 = 115$ шт.
Сорт № 5: $500 \cdot 0,12 + 500 \cdot 0,14 = 60 + 70 = 130$ шт.
Сорт № 6: $500 \cdot 0,04 + 500 \cdot 0,15 = 20 + 75 = 95$ шт.
Сорт № 7: $500 \cdot 0,11 + 500 \cdot 0,08 = 55 + 40 = 95$ шт.
Проведя аналогичные расчеты для всех сортов, выявляем три самых популярных:
1. Сорт № 5: 130 штук.
2. Сорт № 4: 115 штук.
3. Сорт № 1: 110 штук.
Суммарное количество проданных штук этих трёх сортов:$130 + 115 + 110 = 355$ штук.Теперь найдем их процентную долю от общего числа продаж в двух киосках (1000 штук):$\frac{355}{1000} \cdot 100\% = 35,5\%$.
Ответ: 35,5%.

г) Для планирования заказа на большую партию разумно использовать средние данные о продажах. Основываясь на результатах пункта (в), доля сорта № 5 в общих продажах составляет 130 штук из 1000, то есть $13\%$. Предположим, что спрос в 50 киосках будет распределяться аналогично. Тогда для партии в 10 000 штук мороженого количество штук сорта № 5 следует рассчитать как 13% от общего объёма:$10000 \cdot \frac{13}{100} = 1300$ штук.
Ответ: примерно 1300 штук.

17.4 Даны системы уравнений:

$\begin{cases} 3x - 6y + 5 = 0 \\ 2y = x - 7 \end{cases}$ $\begin{cases} y = 6x + 7 \\ \frac{y - 7}{3} = 2x \end{cases}$ $\begin{cases} x + 5y - 7 = 0 \\ y = x + 7 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x + 1,5y = 16 \\ y = 5 - \frac{8x}{3} \end{cases}$ $\begin{cases} 9x - 2y + 11 = 0 \\ y = x - 11 \end{cases}$

Из данных систем уравнений случайным образом выбирают одну. Какова вероятность того, что выбранная система:

а) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет хотя бы одно решение;

г) имеет единственное решение?

Для решения задачи сначала проанализируем каждую из пяти систем уравнений, чтобы определить количество решений. Система линейных уравнений вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ имеет:

• одно решение, если угловые коэффициенты не равны: $k_1 \ne k_2$;
• бесконечно много решений, если угловые коэффициенты и свободные члены равны: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$;
• не имеет решений, если угловые коэффициенты равны, а свободные члены не равны: $k_1 = k_2$ и $b_1 \ne b_2$.

Приведем уравнения в каждой системе к виду $y = kx + b$.

1. Система $\{_{2y = x - 7}^{3x - 6y + 5 = 0}$

• Первое уравнение: $3x - 6y + 5 = 0 \Rightarrow 6y = 3x + 5 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{6}$.
• Второе уравнение: $2y = x - 7 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$.

Угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$), а свободные члены нет ($b_1 \ne b_2$). Следовательно, система не имеет решений.

2. Система $\{_{ \frac{y-7}{3} = 2x }^{y = 6x + 7}$

• Первое уравнение: $y = 6x + 7$.
• Второе уравнение: $\frac{y - 7}{3} = 2x \Rightarrow y - 7 = 6x \Rightarrow y = 6x + 7$.

Уравнения идентичны ($k_1 = k_2 = 6$, $b_1 = b_2 = 7$). Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

3. Система $\{_{y = x + 7}^{x + 5y - 7 = 0}$

• Первое уравнение: $x + 5y - 7 = 0 \Rightarrow 5y = -x + 7 \Rightarrow y = -\frac{1}{5}x + \frac{7}{5}$.
• Второе уравнение: $y = x + 7$.

Угловые коэффициенты не равны ($k_1 = -\frac{1}{5}$, $k_2 = 1$). Следовательно, система имеет единственное решение.

4. Система $\{_{y = 5 - \frac{8x}{3}}^{4x + 1,5y = 16}$

• Первое уравнение: $4x + 1,5y = 16 \Rightarrow 1,5y = -4x + 16 \Rightarrow y = -\frac{4}{1,5}x + \frac{16}{1,5} \Rightarrow y = -\frac{8}{3}x + \frac{32}{3}$.
• Второе уравнение: $y = 5 - \frac{8x}{3} \Rightarrow y = -\frac{8}{3}x + 5$.

Угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = -\frac{8}{3}$), а свободные члены нет ($b_1 \ne b_2$). Следовательно, система не имеет решений.

5. Система $\{_{y = x - 11}^{9x - 2y + 11 = 0}$

• Первое уравнение: $9x - 2y + 11 = 0 \Rightarrow 2y = 9x + 11 \Rightarrow y = \frac{9}{2}x + \frac{11}{2}$.
• Второе уравнение: $y = x - 11$.

Угловые коэффициенты не равны ($k_1 = \frac{9}{2}$, $k_2 = 1$). Следовательно, система имеет единственное решение.

Итоги анализа:

• Не имеют решений: 2 системы (1-я и 4-я).
• Имеют бесконечно много решений: 1 система (2-я).
• Имеют единственное решение: 2 системы (3-я и 5-я).

Всего дано 5 систем. Вероятность события - это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

а) не имеет решений;

Число систем, не имеющих решений, равно 2. Общее число систем равно 5. Вероятность выбрать такую систему: $P = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

б) имеет бесконечно много решений;

Число систем, имеющих бесконечно много решений, равно 1. Общее число систем равно 5. Вероятность выбрать такую систему: $P = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

в) имеет хотя бы одно решение;

Событие "имеет хотя бы одно решение" означает, что система имеет либо одно решение, либо бесконечно много решений. Число таких систем равно $2 + 1 = 3$. Вероятность выбрать такую систему: $P = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

г) имеет единственное решение?

Число систем, имеющих единственное решение, равно 2. Общее число систем равно 5. Вероятность выбрать такую систему: $P = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$