Страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

18.4 а) $(-c) \cdot (-c) \cdot (-c) \cdot (-c);$

б) $(-d) \cdot (-d) \cdot (-d);$

в) $(-r) \cdot (-r) \cdot (-r) \cdot (-r) \cdot (-r);$

г) $(-s) \cdot (-s) \cdot (-s) \cdot (-s) \cdot (-s) \cdot (-s).$

а) Заданное выражение является произведением четырех одинаковых множителей $(-c)$. Такое произведение можно записать в виде степени, где основанием является повторяющийся множитель, а показателем — количество его повторений. В данном случае выражение равно $(-c)^4$. По свойству степеней, при возведении отрицательного числа в четную степень (4 — четное число), результат будет положительным. Таким образом, $(-c)^4 = c^4$.
Ответ: $c^4$.

б) Заданное выражение является произведением трех одинаковых множителей $(-d)$. Это можно записать в виде степени $(-d)^3$. По свойству степеней, при возведении отрицательного числа в нечетную степень (3 — нечетное число), результат будет отрицательным. Таким образом, $(-d)^3 = -d^3$.
Ответ: $-d^3$.

в) Выражение является произведением пяти одинаковых множителей $(-r)$, что соответствует степени $(-r)^5$. Так как показатель степени 5 является нечетным числом, при возведении отрицательного основания в эту степень знак минус сохраняется. Следовательно, $(-r)^5 = -r^5$.
Ответ: $-r^5$.

г) Данное выражение — это произведение шести одинаковых множителей $(-s)$. Это можно записать как степень $(-s)^6$. Поскольку показатель степени 6 является четным числом, при возведении отрицательного основания в эту степень результат будет положительным. Таким образом, $(-s)^6 = s^6$.
Ответ: $s^6$.

18.5 а) $(ab) \cdot (ab) \cdot (ab) \cdot (ab);$

б) $(-pq) \cdot (-pq) \cdot (-pq);$

в) $(mn) \cdot (mn) \cdot (mn) \cdot (mn) \cdot (mn);$

г) $(-xy) \cdot (-xy) \cdot (-xy) \cdot (-xy) \cdot (-xy) \cdot (-xy).$

а) В данном выражении множитель $(ab)$ умножается сам на себя 4 раза. По определению степени, произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде степени, где основанием является повторяющийся множитель, а показателем — количество его повторений.
Таким образом, произведение $(ab) \cdot (ab) \cdot (ab) \cdot (ab)$ можно записать как $(ab)^4$.
Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить: $(xy)^n = x^n y^n$.
$(ab)^4 = a^4 b^4$
Ответ: $a^4 b^4$

б) Выражение $(-pq) \cdot (-pq) \cdot (-pq)$ представляет собой произведение трех одинаковых множителей $(-pq)$. Запишем это произведение в виде степени с основанием $(-pq)$ и показателем 3.
$(-pq) \cdot (-pq) \cdot (-pq) = (-pq)^3$
При возведении отрицательного выражения в нечетную степень (3 — нечетное число), результат будет отрицательным. Используем свойство степени произведения:
$(-pq)^3 = (-1)^3 \cdot p^3 \cdot q^3 = -1 \cdot p^3 q^3 = -p^3 q^3$
Ответ: $-p^3 q^3$

в) В выражении $(mn) \cdot (mn) \cdot (mn) \cdot (mn) \cdot (mn)$ множитель $(mn)$ повторяется 5 раз. Представим это произведение в виде степени.
$(mn) \cdot (mn) \cdot (mn) \cdot (mn) \cdot (mn) = (mn)^5$
Применяя свойство степени произведения, возводим в степень каждый множитель внутри скобок:
$(mn)^5 = m^5 n^5$
Ответ: $m^5 n^5$

г) Данное выражение является произведением шести одинаковых множителей $(-xy)$. Это можно записать в виде степени с основанием $(-xy)$ и показателем 6.
$(-xy) \cdot (-xy) \cdot (-xy) \cdot (-xy) \cdot (-xy) \cdot (-xy) = (-xy)^6$
При возведении отрицательного выражения в четную степень (6 — четное число), результат будет положительным, так как произведение четного числа отрицательных сомножителей положительно.
$(-xy)^6 = (-1)^6 \cdot x^6 \cdot y^6 = 1 \cdot x^6 y^6 = x^6 y^6$
Ответ: $x^6 y^6$

18.6 а) $(c - d) \cdot (c - d) \cdot (c - d)$;

б) $(z + t) \cdot (z + t)$;

в) $(p - q) \cdot (p - q) \cdot (p - q) \cdot (p - q)$;

г) $(x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y)$.

а) Чтобы представить произведение в виде степени, необходимо определить основание и показатель. В выражении $(c - d) \cdot (c - d) \cdot (c - d)$ одинаковый множитель, $(c-d)$, повторяется 3 раза. Это выражение будет основанием степени, а число повторений, 3, — показателем степени.
$(c - d) \cdot (c - d) \cdot (c - d) = (c - d)^3$
Ответ: $(c - d)^3$

б) В выражении $(z + t) \cdot (z + t)$ множитель $(z+t)$ умножается сам на себя, то есть повторяется 2 раза. По определению степени, это можно записать как квадрат данного выражения. Основание степени — $(z+t)$, показатель — 2.
$(z + t) \cdot (z + t) = (z + t)^2$
Ответ: $(z + t)^2$

в) Данное выражение $(p - q) \cdot (p - q) \cdot (p - q) \cdot (p - q)$ является произведением четырех одинаковых множителей. Основанием степени будет выражение $(p-q)$, а показателем степени — число 4.
$(p - q) \cdot (p - q) \cdot (p - q) \cdot (p - q) = (p - q)^4$
Ответ: $(p - q)^4$

г) В этом выражении $(x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y)$ множитель $(x+y)$ повторяется 6 раз. Следовательно, данное произведение можно записать в виде степени с основанием $(x+y)$ и показателем 6.
$(x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) = (x + y)^6$
Ответ: $(x + y)^6$

Запишите выражение в виде произведения степеней, назовите основание и показатель каждой степени:

18.7 а) $13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$;

б) $0,7 \cdot 0,7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$;

в) $(-0,45) \cdot (-0,45) \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$;

г) $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} \cdot 0,1 \cdot 0,1$.

а) В данном выражении $13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ число 13 повторяется в качестве множителя 4 раза, а число 5 — 3 раза. Произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени, где основание — это повторяющийся множитель, а показатель — количество его повторений.
Таким образом, произведение четырех множителей, равных 13, записывается как $13^4$. В этой степени основание равно 13, а показатель равен 4.
Произведение трех множителей, равных 5, записывается как $5^3$. В этой степени основание равно 5, а показатель равен 3.
В итоге, исходное выражение можно записать как произведение степеней: $13^4 \cdot 5^3$.
Ответ: $13^4 \cdot 5^3$; для степени $13^4$ основание — 13, показатель — 4; для степени $5^3$ основание — 5, показатель — 3.

б) В выражении $0,7 \cdot 0,7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ множитель 0,7 повторяется 2 раза, и множитель $-\frac{1}{2}$ также повторяется 2 раза.
Произведение $0,7 \cdot 0,7$ записывается как степень $(0,7)^2$. Здесь основание равно 0,7, а показатель равен 2.
Произведение $\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ записывается как степень $\left(-\frac{1}{2}\right)^2$. Здесь основание равно $-\frac{1}{2}$, а показатель равен 2.
Таким образом, выражение в виде произведения степеней: $(0,7)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2$.
Ответ: $(0,7)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2$; для степени $(0,7)^2$ основание — 0,7, показатель — 2; для степени $\left(-\frac{1}{2}\right)^2$ основание — $-\frac{1}{2}$, показатель — 2.

в) В выражении $(-0,45) \cdot (-0,45) \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ множитель -0,45 повторяется 2 раза, а множитель 7 повторяется 3 раза.
Произведение $(-0,45) \cdot (-0,45)$ можно записать в виде степени $(-0,45)^2$. Основание этой степени — -0,45, показатель — 2.
Произведение $7 \cdot 7 \cdot 7$ можно записать в виде степени $7^3$. Основание этой степени — 7, показатель — 3.
Следовательно, итоговое выражение имеет вид: $(-0,45)^2 \cdot 7^3$.
Ответ: $(-0,45)^2 \cdot 7^3$; для степени $(-0,45)^2$ основание — -0,45, показатель — 2; для степени $7^3$ основание — 7, показатель — 3.

г) В выражении $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} \cdot 0,1 \cdot 0,1$ дробь $\frac{1}{9}$ используется в качестве множителя 3 раза, а число 0,1 — 2 раза.
Произведение трех множителей, равных $\frac{1}{9}$, записывается как степень $\left(\frac{1}{9}\right)^3$. Основание степени — $\frac{1}{9}$, показатель — 3.
Произведение двух множителей, равных 0,1, записывается как степень $(0,1)^2$. Основание степени — 0,1, показатель — 2.
Полное выражение в виде произведения степеней: $\left(\frac{1}{9}\right)^3 \cdot (0,1)^2$.
Ответ: $\left(\frac{1}{9}\right)^3 \cdot (0,1)^2$; для степени $\left(\frac{1}{9}\right)^3$ основание — $\frac{1}{9}$, показатель — 3; для степени $(0,1)^2$ основание — 0,1, показатель — 2.

Запишите выражение в виде произведения степеней, назовите основание и показатель каждой степени:

18.8 а) $5 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 7;$

18.8 б) $(-0,3) \cdot \frac{3}{5} \cdot (-0,3) \cdot \frac{3}{5};$

18.8 в) $7,95 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 7,95 \cdot 13;$

18.8 г) $(-2\frac{1}{3}) \cdot 17,8 \cdot 17,8 \cdot (-2\frac{1}{3}) \cdot (-2\frac{1}{3}).$

а) В выражении $5 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 7$ сгруппируем одинаковые множители: $(5 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 7)$.

Произведение множителей, каждый из которых равен 5, можно записать в виде степени. Поскольку множитель 5 повторяется 2 раза, получаем $5^2$. Аналогично, множитель 7 повторяется 2 раза, что дает $7^2$.

Таким образом, выражение в виде произведения степеней: $5^2 \cdot 7^2$.

• Для степени $5^2$: основание – 5, показатель – 2.
• Для степени $7^2$: основание – 7, показатель – 2.

Ответ: $5^2 \cdot 7^2$.

б) В выражении $(-0,3) \cdot \frac{3}{5} \cdot (-0,3) \cdot \frac{3}{5}$ сгруппируем одинаковые множители: $((-0,3) \cdot (-0,3)) \cdot (\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5})$.

Множитель $(-0,3)$ повторяется 2 раза, поэтому его можно записать как степень $(-0,3)^2$. Множитель $\frac{3}{5}$ также повторяется 2 раза, что записывается как степень $(\frac{3}{5})^2$.

В результате получаем произведение степеней: $(-0,3)^2 \cdot (\frac{3}{5})^2$.

• Для степени $(-0,3)^2$: основание – -0,3, показатель – 2.
• Для степени $(\frac{3}{5})^2$: основание – $\frac{3}{5}$, показатель – 2.

Ответ: $(-0,3)^2 \cdot (\frac{3}{5})^2$.

в) В выражении $7,95 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 7,95 \cdot 13$ сгруппируем одинаковые множители: $(7,95 \cdot 7,95) \cdot (13 \cdot 13 \cdot 13)$.

Множитель 7,95 повторяется 2 раза, что соответствует степени $7,95^2$. Множитель 13 повторяется 3 раза, что соответствует степени $13^3$.

Итоговое выражение в виде произведения степеней: $7,95^2 \cdot 13^3$.

• Для степени $7,95^2$: основание – 7,95, показатель – 2.
• Для степени $13^3$: основание – 13, показатель – 3.

Ответ: $7,95^2 \cdot 13^3$.

г) В выражении $(-2\frac{1}{3}) \cdot 17,8 \cdot 17,8 \cdot (-2\frac{1}{3}) \cdot (-2\frac{1}{3})$ сгруппируем одинаковые множители: $((-2\frac{1}{3}) \cdot (-2\frac{1}{3}) \cdot (-2\frac{1}{3})) \cdot (17,8 \cdot 17,8)$.

Множитель $(-2\frac{1}{3})$ повторяется 3 раза, что записывается в виде степени $(-2\frac{1}{3})^3$. Множитель $17,8$ повторяется 2 раза, что соответствует степени $17,8^2$.

Таким образом, выражение можно записать как произведение степеней: $(-2\frac{1}{3})^3 \cdot 17,8^2$.

• Для степени $(-2\frac{1}{3})^3$: основание – $-2\frac{1}{3}$, показатель – 3.
• Для степени $17,8^2$: основание – 17,8, показатель – 2.

Ответ: $(-2\frac{1}{3})^3 \cdot 17,8^2$.

Представьте в виде произведения одинаковых множителей:

18.9 a) $x^8$;

б) $(-2a)^4$;

в) $(-y)^{12}$;

г) $(3b)^6$.

а) Чтобы представить выражение $x^8$ в виде произведения одинаковых множителей, необходимо основание степени, в данном случае $x$, умножить само на себя столько раз, каков показатель степени, то есть 8 раз.
$x^8 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$.
Ответ: $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$.

б) В выражении $(-2a)^4$ основанием степени является $(-2a)$, а показателем — 4. Следовательно, чтобы представить его в виде произведения, нужно множитель $(-2a)$ повторить 4 раза.
$(-2a)^4 = (-2a) \cdot (-2a) \cdot (-2a) \cdot (-2a)$.
Ответ: $(-2a) \cdot (-2a) \cdot (-2a) \cdot (-2a)$.

в) Выражение $(-y)^{12}$ — это степень, где основание равно $(-y)$, а показатель равен 12. Представление в виде произведения одинаковых множителей означает, что множитель $(-y)$ нужно перемножить сам на себя 12 раз.
$(-y)^{12} = \underbrace{(-y) \cdot (-y) \cdot \dots \cdot (-y)}_{12 \text{ раз}}$.
Полная запись: $(-y)^{12} = (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y)$.
Ответ: $(-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) \cdot (-y)$.

г) Для выражения $(3b)^6$ основание степени — это $(3b)$, а показатель степени — 6. Это значит, что для представления в виде произведения нужно умножить $(3b)$ само на себя 6 раз.
$(3b)^6 = (3b) \cdot (3b) \cdot (3b) \cdot (3b) \cdot (3b) \cdot (3b)$.
Ответ: $(3b) \cdot (3b) \cdot (3b) \cdot (3b) \cdot (3b) \cdot (3b)$.

Представьте в виде произведения одинаковых множителей:

18.10 a) $ (4pq)^2 $

б) $ \left(-\frac{a}{b}\right)^4 $

в) $ (z-x)^3 $

г) $ \left(\frac{5c}{6d}\right)^5 $

а) Чтобы представить выражение $(4pq)^2$ в виде произведения одинаковых множителей, нужно основание степени, которое равно $(4pq)$, умножить само на себя 2 раза, так как показатель степени равен 2.
$(4pq)^2 = (4pq) \cdot (4pq)$.
Ответ: $(4pq) \cdot (4pq)$.

б) В выражении $(-\frac{a}{b})^4$ основанием степени является дробь $(-\frac{a}{b})$, а показателем степени — число 4. Это означает, что для представления выражения в виде произведения необходимо умножить основание само на себя 4 раза.
$(-\frac{a}{b})^4 = (-\frac{a}{b}) \cdot (-\frac{a}{b}) \cdot (-\frac{a}{b}) \cdot (-\frac{a}{b})$.
Ответ: $(-\frac{a}{b}) \cdot (-\frac{a}{b}) \cdot (-\frac{a}{b}) \cdot (-\frac{a}{b})$.

в) Для выражения $(z-x)^3$ основанием степени является $(z-x)$, а показателем степени — 3. Следовательно, нужно умножить основание само на себя 3 раза.
$(z-x)^3 = (z-x) \cdot (z-x) \cdot (z-x)$.
Ответ: $(z-x) \cdot (z-x) \cdot (z-x)$.

г) Выражение $(\frac{5c}{6d})^5$ имеет основание $(\frac{5c}{6d})$ и показатель степени 5. Чтобы представить его в виде произведения, умножаем основание само на себя 5 раз.
$(\frac{5c}{6d})^5 = (\frac{5c}{6d}) \cdot (\frac{5c}{6d}) \cdot (\frac{5c}{6d}) \cdot (\frac{5c}{6d}) \cdot (\frac{5c}{6d})$.
Ответ: $(\frac{5c}{6d}) \cdot (\frac{5c}{6d}) \cdot (\frac{5c}{6d}) \cdot (\frac{5c}{6d}) \cdot (\frac{5c}{6d})$.