Страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

19.1 Заполните таблицу степеней:

$n$ 1 2 3 4 5 6

$3^n$

$5^n$

$7^n$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждой строки вычислить значение выражения в первом столбце, подставляя вместо $n$ числа из верхней строки таблицы.

$3^n$
Вычислим значения для строки $3^n$, где $n$ последовательно принимает значения от 1 до 6:
- при $n = 1$: $3^1 = 3$
- при $n = 2$: $3^2 = 9$
- при $n = 3$: $3^3 = 27$
- при $n = 4$: $3^4 = 81$
- при $n = 5$: $3^5 = 243$
- при $n = 6$: $3^6 = 729$
Ответ: В строку $3^n$ необходимо вписать следующие числа: 3, 9, 27, 81, 243, 729.

$5^n$
Вычислим значения для строки $5^n$. Согласно таблице, необходимо найти значения только для $n$ от 1 до 4.
- при $n = 1$: $5^1 = 5$
- при $n = 2$: $5^2 = 25$
- при $n = 3$: $5^3 = 125$
- при $n = 4$: $5^4 = 625$
Ответ: В строку $5^n$ необходимо вписать следующие числа: 5, 25, 125, 625.

$7^n$
Вычислим значения для строки $7^n$. Согласно таблице, необходимо найти значения только для $n$ от 1 до 4.
- при $n = 1$: $7^1 = 7$
- при $n = 2$: $7^2 = 49$
- при $n = 3$: $7^3 = 343$
- при $n = 4$: $7^4 = 2401$
Ответ: В строку $7^n$ необходимо вписать следующие числа: 7, 49, 343, 2401.

Вычислите:

19.2 а) $1^5$;

б) $(-1)^6$;

в) $(-1)^3$;

г) $1^7$.

а) Чтобы вычислить $1^5$, необходимо возвести число 1 в пятую степень. Это означает, что число 1 нужно умножить само на себя 5 раз.
$1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Следует помнить правило: единица в любой степени равна единице.
Ответ: 1

б) Чтобы вычислить $(-1)^6$, необходимо возвести число -1 в шестую степень. Показатель степени 6 является четным числом.
$(-1)^6 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$.
При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным.
$(-1)^6 = 1$.
Ответ: 1

в) Чтобы вычислить $(-1)^3$, необходимо возвести число -1 в третью степень. Показатель степени 3 является нечетным числом.
$(-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным.
$(-1) \cdot (-1) = 1$, затем $1 \cdot (-1) = -1$.
$(-1)^3 = -1$.
Ответ: -1

г) Чтобы вычислить $1^7$, необходимо возвести число 1 в седьмую степень. Аналогично пункту а), единица в любой степени равна единице.
$1^7 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1

19.3 а) $0^{101}$;

б) $1^{15} \cdot 0^2$;

в) $(-1)^5 \cdot 1^6$;

г) $1^7 \cdot (-1)^4 \cdot 0^3 \cdot 1^9$.

а) Для вычисления значения выражения $0^{101}$ используется свойство степени, согласно которому ноль, возведенный в любую натуральную степень, равен нулю.
$0^{101} = 0 \cdot 0 \cdot \ldots \cdot 0$ (101 раз) $= 0$.
Ответ: 0

б) Для вычисления значения выражения $1^{15} \cdot 0^2$ необходимо вычислить каждый множитель по отдельности, а затем перемножить результаты.
1. Единица в любой степени равна единице: $1^{15} = 1$.
2. Ноль в любой натуральной степени равен нулю: $0^2 = 0$.
Теперь выполним умножение:
$1 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

в) Для вычисления значения выражения $(-1)^5 \cdot 1^6$ необходимо вычислить каждый множитель.
1. Отрицательное число -1, возведенное в нечетную степень (5), дает в результате -1: $(-1)^5 = -1$.
2. Единица в любой степени равна единице: $1^6 = 1$.
Теперь перемножим полученные значения:
$(-1) \cdot 1 = -1$.
Ответ: -1

г) Рассмотрим выражение $1^7 \cdot (-1)^4 \cdot 0^8 \cdot 1^9$.
Данное выражение представляет собой произведение четырех множителей. Обратим внимание на множитель $0^8$.
Согласно свойству степени, ноль в любой натуральной степени равен нулю: $0^8 = 0$.
Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, то всё произведение будет равно нулю (свойство умножения на ноль).
Для проверки вычислим остальные множители:
$1^7 = 1$
$(-1)^4 = 1$ (так как степень 4 - четная)
$1^9 = 1$
Получаем: $1 \cdot 1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$.
Ответ: 0

19.4 a) $(-1)^{10} + 0^{12} + 1^{45};$

б) $(-1)^{6} + (-1)^{7} - 0^{8};$

В) $0^{12} + 1^{41} + (-1)^{11};$

Г) $0^{502} - 1^{14} + 1^{13} + (-1)^{2}.$

а) Для решения примера $(-1)^{10} + 0^{12} + 1^{45}$ необходимо вычислить значение каждого слагаемого по отдельности, используя правила возведения в степень.

1. Число $-1$ в четной степени равно $1$. Поскольку показатель степени $10$ является четным числом, то $(-1)^{10} = 1$.

2. Число $0$ в любой положительной степени равно $0$. Следовательно, $0^{12} = 0$.

3. Число $1$ в любой степени равно $1$. Следовательно, $1^{45} = 1$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение и найдем сумму: $1 + 0 + 1 = 2$.

Ответ: 2

б) Рассмотрим выражение $(-1)^6 + (-1)^7 - 0^8$ и вычислим его значение.

1. Число $-1$ в четной степени $6$ равно $1$: $(-1)^6 = 1$.

2. Число $-1$ в нечетной степени $7$ равно $-1$: $(-1)^7 = -1$.

3. Число $0$ в степени $8$ равно $0$: $0^8 = 0$.

Подставим полученные значения в выражение: $1 + (-1) - 0 = 1 - 1 - 0 = 0$.

Ответ: 0

в) Решим пример $0^{12} + 1^{41} + (-1)^{11}$.

1. Значение $0^{12}$ равно $0$, так как ноль в любой положительной степени равен нулю.

2. Значение $1^{41}$ равно $1$, так как единица в любой степени равна единице.

3. Число $-1$ в нечетной степени $11$ равно $-1$: $(-1)^{11} = -1$.

Сложим полученные результаты: $0 + 1 + (-1) = 0 + 1 - 1 = 0$.

Ответ: 0

г) Вычислим значение выражения $0^{502} - 1^{14} + 1^{13} + (-1)^2$.

1. $0^{502} = 0$.

2. $1^{14} = 1$.

3. $1^{13} = 1$.

4. Число $-1$ в четной степени $2$ равно $1$: $(-1)^2 = 1$.

Подставим все вычисленные значения в исходное выражение: $0 - 1^{14} + 1^{13} + (-1)^2 = 0 - 1 + 1 + 1 = 1$.

Ответ: 1

19.5 а) $(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1);$

б) $(-1)^7 + 1^8 + 0^{15} + 1^{19} + (-1)^4;$

в) $(-1)^2 - (-1)^3 - (-1)^4 - (-1)^5;$

г) $(-1)^{12} + 0^1 - 1^{24} + 0^3 - (-1)^5.$

а) Чтобы решить пример $(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1)$, воспользуемся правилом возведения -1 в степень: если показатель степени четный, результат равен 1; если нечетный — -1.
$(-1)^4 = 1$ (так как показатель 4 — четный).
$(-1)^3 = -1$ (так как показатель 3 — нечетный).
$(-1)^2 = 1$ (так как показатель 2 — четный).
Следовательно, выражение равно: $1 + (-1) + 1 + (-1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$.
Ответ: 0

б) Для решения примера $(-1)^7 + 1^8 + 0^{15} + 1^{19} + (-1)^4$ необходимо знать следующие правила: $(-1)$ в нечетной степени равно -1, а в четной — 1; 1 в любой степени равно 1; 0 в любой положительной степени равно 0.
$(-1)^7 = -1$ (7 — нечетное).
$1^8 = 1$.
$0^{15} = 0$.
$1^{19} = 1$.
$(-1)^4 = 1$ (4 — четное).
Суммируем результаты: $-1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

в) Рассмотрим выражение $(-1)^2 - (-1)^3 - (-1)^4 - (-1)^5$.
Вычислим степени числа -1:
$(-1)^2 = 1$ (2 — четное).
$(-1)^3 = -1$ (3 — нечетное).
$(-1)^4 = 1$ (4 — четное).
$(-1)^5 = -1$ (5 — нечетное).
Подставим значения в исходное выражение, учитывая знаки: $1 - (-1) - 1 - (-1) = 1 + 1 - 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

г) Для решения примера $(-1)^{12} + 0^1 - 1^{24} + 0^3 - (-1)^5$ вычислим значение каждого члена выражения.
$(-1)^{12} = 1$ (12 — четное).
$0^1 = 0$.
$1^{24} = 1$.
$0^3 = 0$.
$(-1)^5 = -1$ (5 — нечетное).
Подставим значения и выполним действия: $1 + 0 - 1 + 0 - (-1) = 1 - 1 + 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

19.6 a) $10^3$;

б) $10^4$;

в) $10^5$;

г) $10^7$.

а) Чтобы найти значение выражения $10^3$, необходимо возвести число 10 в третью степень. Это означает, что число 10 нужно умножить само на себя 3 раза. Результатом возведения числа 10 в натуральную степень $n$ является число, состоящее из единицы и $n$ нулей. Таким образом, для $n=3$ получаем единицу и три нуля.
$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Ответ: $1000$.

б) Чтобы найти значение выражения $10^4$, необходимо возвести число 10 в четвертую степень. Это означает, что число 10 нужно умножить само на себя 4 раза. Результатом будет число, состоящее из единицы и четырех нулей.
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10~000$.
Ответ: $10~000$.

в) Чтобы найти значение выражения $10^5$, необходимо возвести число 10 в пятую степень. Это означает, что число 10 нужно умножить само на себя 5 раз. Результатом будет число, состоящее из единицы и пяти нулей.
$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100~000$.
Ответ: $100~000$.

г) Чтобы найти значение выражения $10^7$, необходимо возвести число 10 в седьмую степень. Это означает, что число 10 нужно умножить само на себя 7 раз. Результатом будет число, состоящее из единицы и семи нулей.
$10^7 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10~000~000$.
Ответ: $10~000~000$.

19.7 Запишите в виде степени числа 10:

а) 1 000 000 000;

в) 1 000 000;

б) 10;

г) $1\underbrace{0\dots0}_{n \text{ нулей}}$

а) Чтобы записать число в виде степени с основанием 10, нужно посчитать количество нулей после единицы. Это число и будет показателем степени. В числе $1\;000\;000\;000$ (один миллиард) содержится 9 нулей. Следовательно, его можно представить как 10 в 9-й степени. $1\;000\;000\;000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^9$.
Ответ: $10^9$

б) В числе 10 содержится один нуль. Согласно общему правилу, это соответствует 10 в 1-й степени. Любое число в первой степени равно самому себе. $10 = 10^1$.
Ответ: $10^1$

в) В числе $1\;000\;000$ (один миллион) содержится 6 нулей. Поэтому, чтобы представить это число в виде степени с основанием 10, нужно возвести 10 в 6-ю степень. $1\;000\;000 = 10^6$.
Ответ: $10^6$

г) В этом задании дано число, которое состоит из единицы и n нулей после нее. По аналогии с предыдущими пунктами, показатель степени числа 10 будет равен количеству нулей. В данном случае количество нулей равно n. Таким образом, число, состоящее из 1 и n нулей, записывается как $10^n$.
Ответ: $10^n$