Номер 19.11, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Таблица основных степеней. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Часть 2 - номер 19.11, страница 96.

Условие.

19.11 а) Назовите число, куб которого равен 1, -8, 125, -343.

б) Назовите число, куб которого равен 0,027, -0,216, $ \frac{1}{64} $, $ -\frac{343}{512} $.

в) Назовите число, пятая степень которого равна -1, -32, 243, 100 000.

г) Назовите число, пятая степень которого равна 0,03125, -0,00243, $ \frac{1}{32} $, $ -7\frac{19}{32} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Найти число, куб которого равен заданному значению, означает извлечь кубический корень из этого значения. Обозначим искомое число как $x$, тогда $x^3 = y$, где $y$ — заданное число. Следовательно, $x = \sqrt[3]{y}$.

• Для числа 1: $x^3 = 1$. Число, которое при возведении в куб дает 1, это 1. Таким образом, $x = \sqrt[3]{1} = 1$.
• Для числа -8: $x^3 = -8$. Так как степень нечетная, основание должно быть отрицательным. Мы знаем, что $2^3 = 8$, значит $(-2)^3 = -8$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{-8} = -2$.
• Для числа 125: $x^3 = 125$. Мы знаем, что $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{125} = 5$.
• Для числа -343: $x^3 = -343$. Основание должно быть отрицательным. Мы знаем, что $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$, значит $(-7)^3 = -343$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{-343} = -7$.

Ответ: 1; -2; 5; -7.

б) Аналогично предыдущему пункту, извлекаем кубический корень из каждого числа.

• Для числа 0,027: $x^3 = 0,027$. $0,027 = \frac{27}{1000} = (\frac{3}{10})^3 = (0,3)^3$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{0,027} = 0,3$.
• Для числа -0,216: $x^3 = -0,216$. $-0,216 = -\frac{216}{1000} = (-\frac{6}{10})^3 = (-0,6)^3$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{-0,216} = -0,6$.
• Для числа $\frac{1}{64}$: $x^3 = \frac{1}{64}$. $x = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$.
• Для числа $-\frac{343}{512}$: $x^3 = -\frac{343}{512}$. $x = \sqrt[3]{-\frac{343}{512}} = -\frac{\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{512}} = -\frac{7}{8}$.

Ответ: 0,3; -0,6; $\frac{1}{4}$; $-\frac{7}{8}$.

в) Найти число, пятая степень которого равна заданному значению, означает извлечь корень пятой степени из этого значения. Обозначим искомое число как $x$, тогда $x^5 = y$, где $y$ — заданное число. Следовательно, $x = \sqrt[5]{y}$.

• Для числа -1: $x^5 = -1$. Так как степень нечетная, отрицательный результат получается при возведении в степень отрицательного основания. $(-1)^5 = -1$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{-1} = -1$.
• Для числа -32: $x^5 = -32$. Мы знаем, что $2^5 = 32$, значит $(-2)^5 = -32$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{-32} = -2$.
• Для числа 243: $x^5 = 243$. Мы знаем, что $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{243} = 3$.
• Для числа 100 000: $x^5 = 100 000$. $100 000 = 10^5$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{100000} = 10$.

Ответ: -1; -2; 3; 10.

г) Аналогично предыдущему пункту, извлекаем корень пятой степени из каждого числа.

• Для числа 0,03125: $x^5 = 0,03125$. $0,03125 = \frac{3125}{100000} = \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5 = (0,5)^5$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{0,03125} = 0,5$.
• Для числа -0,00243: $x^5 = -0,00243$. $-0,00243 = -\frac{243}{100000} = (-\frac{3}{10})^5 = (-0,3)^5$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{-0,00243} = -0,3$.
• Для числа $\frac{1}{32}$: $x^5 = \frac{1}{32}$. $x = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$.
• Для числа $-7\frac{19}{32}$: Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-7\frac{19}{32} = -\frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = -\frac{224 + 19}{32} = -\frac{243}{32}$. Тогда $x^5 = -\frac{243}{32}$. $x = \sqrt[5]{-\frac{243}{32}} = -\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: 0,5; -0,3; $\frac{1}{2}$; $-\frac{3}{2}$.