Номер 19.10, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

19.10 a) Назовите числа, квадрат которых равен 1, 9, 64, 121.

б) Назовите числа, квадрат которых равен 0,04, 1,44, $\frac{25}{36}$, $2\frac{2}{49}$.

в) Назовите числа, четвёртая степень которых равна 1, 16, 81, 625.

г) Назовите числа, четвёртая степень которых равна 0,0001, 0,0016, $\frac{1}{81}$, $\frac{256}{625}$.

а) Чтобы найти числа, квадрат которых равен заданному числу, необходимо извлечь из него квадратный корень. Для любого положительного числа $a$ существует два квадратных корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.

• Для числа 1: искомые числа $x$ находятся из уравнения $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x = 1$ и $x = -1$.
• Для числа 9: $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.
• Для числа 64: $x^2 = 64 \implies x = \pm\sqrt{64} = \pm 8$.
• Для числа 121: $x^2 = 121 \implies x = \pm\sqrt{121} = \pm 11$.

Ответ: $\pm 1$; $\pm 3$; $\pm 8$; $\pm 11$.

б) Аналогично предыдущему пункту, находим квадратные корни из заданных чисел.

• Для числа 0,04: $x^2 = 0,04 \implies x = \pm\sqrt{0,04} = \pm 0,2$.
• Для числа 1,44: $x^2 = 1,44 \implies x = \pm\sqrt{1,44} = \pm 1,2$.
• Для числа $\frac{25}{36}$: $x^2 = \frac{25}{36} \implies x = \pm\sqrt{\frac{25}{36}} = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \pm \frac{5}{6}$.
• Для числа $2 \frac{2}{49}$: сначала представим его в виде неправильной дроби $2 \frac{2}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 2}{49} = \frac{98 + 2}{49} = \frac{100}{49}$. Тогда $x^2 = \frac{100}{49} \implies x = \pm\sqrt{\frac{100}{49}} = \pm \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{49}} = \pm \frac{10}{7}$.

Ответ: $\pm 0,2$; $\pm 1,2$; $\pm \frac{5}{6}$; $\pm \frac{10}{7}$.

в) Чтобы найти числа, четвёртая степень которых равна заданному числу, нужно извлечь корень четвёртой степени. Так как степень (4) является чётной, для каждого положительного числа $a$ существует два действительных корня: $\sqrt[4]{a}$ и $-\sqrt[4]{a}$.

• Для числа 1: $x^4 = 1 \implies x = \pm\sqrt[4]{1} = \pm 1$.
• Для числа 16: $x^4 = 16 \implies x = \pm\sqrt[4]{16} = \pm 2$, так как $2^4 = 16$.
• Для числа 81: $x^4 = 81 \implies x = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3$, так как $3^4 = 81$.
• Для числа 625: $x^4 = 625 \implies x = \pm\sqrt[4]{625} = \pm 5$, так как $5^4 = 625$.

Ответ: $\pm 1$; $\pm 2$; $\pm 3$; $\pm 5$.

г) Аналогично предыдущему пункту, находим корни четвёртой степени из заданных чисел.

• Для числа 0,0001: $x^4 = 0,0001 \implies x = \pm\sqrt[4]{0,0001} = \pm 0,1$, так как $(0,1)^4 = 0,0001$.
• Для числа 0,0016: $x^4 = 0,0016 \implies x = \pm\sqrt[4]{0,0016} = \pm 0,2$, так как $(0,2)^4 = 0,0016$.
• Для числа $\frac{1}{81}$: $x^4 = \frac{1}{81} \implies x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \pm \frac{1}{3}$.
• Для числа $\frac{256}{625}$: $x^4 = \frac{256}{625} \implies x = \pm\sqrt[4]{\frac{256}{625}} = \pm \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{625}} = \pm \frac{4}{5}$.

Ответ: $\pm 0,1$; $\pm 0,2$; $\pm \frac{1}{3}$; $\pm \frac{4}{5}$.