Страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Вычислите:

18.11 a) $2^n$, если $n = 1, 4, 5;$

б) $(-\frac{1}{2})^n$, если $n = 2, 3, 6;$

в) $(\frac{1}{3})^n$, если $n = 2, 3, 5;$

г) $(-5)^n$, если $n = 1, 2, 3.$

а) Требуется вычислить значение выражения $2^n$ при $n = 1, 4, 5$.

При $n = 1$: $2^1 = 2$.

При $n = 4$: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

При $n = 5$: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 2; 16; 32.

б) Требуется вычислить значение выражения $(-\frac{1}{2})^n$ при $n = 2, 3, 6$.

При $n = 2$: $(-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$. Так как показатель степени четный, результат положительный.

При $n = 3$: $(-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$. Так как показатель степени нечетный, результат отрицательный.

При $n = 6$: $(-\frac{1}{2})^6 = \frac{(-1)^6}{2^6} = \frac{1}{64}$. Так как показатель степени четный, результат положительный.

Ответ: $\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{8}$; $\frac{1}{64}$.

в) Требуется вычислить значение выражения $(\frac{1}{3})^n$ при $n = 2, 3, 5$.

При $n = 2$: $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

При $n = 3$: $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.

При $n = 5$: $(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{243}$.

г) Требуется вычислить значение выражения $(-5)^n$ при $n = 1, 2, 3$.

При $n = 1$: $(-5)^1 = -5$.

При $n = 2$: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$. Так как показатель степени четный, результат положительный.

При $n = 3$: $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$. Так как показатель степени нечетный, результат отрицательный.

Ответ: -5; 25; -125.

Вычислите:

18.12 а) $a^3$, если $a = -2, 0, 3$;

б) $b^4$, если $b = -3, \frac{1}{3}, 1$;

в) $c^5$, если $c = -1, 0.2, 10;

г) $d^6$, если $d = -1, -\frac{1}{2}, 3.

а) Требуется вычислить значение выражения $a^3$ при заданных значениях переменной $a$.
При $a = -2$:
$a^3 = (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.
При $a = 0$:
$a^3 = 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.
При $a = 3$:
$a^3 = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Ответ: -8; 0; 27.

б) Требуется вычислить значение выражения $b^4$ при заданных значениях переменной $b$.
При $b = -3$:
$b^4 = (-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$. (Четная степень отрицательного числа является положительным числом).
При $b = \frac{1}{3}$:
$b^4 = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$.
При $b = 1$:
$b^4 = 1^4 = 1$.
Ответ: 81; $\frac{1}{81}$; 1.

в) Требуется вычислить значение выражения $c^5$ при заданных значениях переменной $c$.
При $c = -1$:
$c^5 = (-1)^5 = -1$. (Нечетная степень отрицательного числа является отрицательным числом).
При $c = 0,2$:
$c^5 = (0,2)^5 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,04 \cdot 0,2 = 0,0016 \cdot 0,2 = 0,00032$.
При $c = 10$:
$c^5 = 10^5 = 100000$.
Ответ: -1; 0,00032; 100000.

г) Требуется вычислить значение выражения $d^6$ при заданных значениях переменной $d$.
При $d = -1$:
$d^6 = (-1)^6 = 1$. (Четная степень отрицательного числа является положительным числом).
При $d = -\frac{1}{2}$:
$d^6 = (-\frac{1}{2})^6 = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$.
При $d = 3$:
$d^6 = 3^6 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$.
Ответ: 1; $\frac{1}{64}$; 729.

18.13 Представьте в виде квадрата некоторого числа данное число:

а) 16;

б) $\frac{4}{49}$;

в) 0,81;

г) $\frac{25}{64}$.

а) Чтобы представить число 16 в виде квадрата, необходимо найти число, которое при возведении во вторую степень дает 16. Таким числом является 4, поскольку $4^2 = 16$.

Ответ: $4^2$.

б) Для представления дроби $\frac{4}{49}$ в виде квадрата, нужно представить числитель и знаменатель как квадраты чисел. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $49 = 7^2$. Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$, получаем: $\frac{4}{49} = \frac{2^2}{7^2} = (\frac{2}{7})^2$.

Ответ: $(\frac{2}{7})^2$.

в) Представим десятичную дробь 0,81 в виде обыкновенной: $0,81 = \frac{81}{100}$. Числитель $81 = 9^2$, а знаменатель $100 = 10^2$. Следовательно, $\frac{81}{100} = \frac{9^2}{10^2} = (\frac{9}{10})^2$. Так как $\frac{9}{10} = 0,9$, то $0,81 = (0,9)^2$.

Ответ: $(0,9)^2$.

г) Для дроби $\frac{25}{64}$ находим числа, квадраты которых равны числителю и знаменателю. Числитель $25 = 5^2$, а знаменатель $64 = 8^2$. Таким образом, $\frac{25}{64} = \frac{5^2}{8^2} = (\frac{5}{8})^2$.

Ответ: $(\frac{5}{8})^2$.

18.14 Представьте в виде куба некоторого числа данное число:

а) $125$;

б) $\frac{1}{64}$;

в) $-0.216$;

г) $-\frac{343}{512}$.

а) Чтобы представить число 125 в виде куба некоторого числа, необходимо найти такое число $x$, для которого выполняется равенство $x^3 = 125$. Это эквивалентно нахождению кубического корня из 125.

Мы знаем, что $5 \cdot 5 = 25$, и $25 \cdot 5 = 125$.

Следовательно, $125 = 5^3$.

Ответ: $5^3$.

б) Для того чтобы представить дробь $\frac{1}{64}$ в виде куба, воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Нам нужно найти такие числа для числителя и знаменателя, кубы которых равны 1 и 64 соответственно.

Для числителя: $1^3 = 1$.

Для знаменателя: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Таким образом, $\frac{1}{64} = \frac{1^3}{4^3} = (\frac{1}{4})^3$.

Ответ: $(\frac{1}{4})^3$.

в) Требуется представить число -0,216 в виде куба. Так как число отрицательное, то и основание искомой степени должно быть отрицательным, потому что куб отрицательного числа есть число отрицательное: $(-a)^3 = -a^3$.

Сначала представим десятичную дробь 0,216 в виде обыкновенной: $0,216 = \frac{216}{1000}$.

Теперь найдем кубические корни из числителя и знаменателя:

$\sqrt[3]{216} = 6$, так как $6^3 = 216$.

$\sqrt[3]{1000} = 10$, так как $10^3 = 1000$.

Значит, $0,216 = \frac{216}{1000} = \frac{6^3}{10^3} = (\frac{6}{10})^3 = (0,6)^3$.

Следовательно, $-0,216 = -(0,6)^3 = (-0,6)^3$.

Ответ: $(-0,6)^3$.

г) Необходимо представить отрицательную дробь $-\frac{343}{512}$ в виде куба. Как и в предыдущем примере, основание степени будет отрицательным.

Найдем кубический корень из числителя и знаменателя дроби $\frac{343}{512}$.

Для числителя: $\sqrt[3]{343}$. Проверим число 7: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Для знаменателя: $\sqrt[3]{512}$. Проверим число 8: $8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512$.

Таким образом, $\frac{343}{512} = \frac{7^3}{8^3} = (\frac{7}{8})^3$.

Соответственно, $-\frac{343}{512} = -(\frac{7}{8})^3 = (-\frac{7}{8})^3$.

Ответ: $(-\frac{7}{8})^3$.

18.15 Вычислите значение степени, если:

a) основание равно 3, показатель равен 5;

б) основание равно -0,5, показатель равен 4;

в) основание равно $-\frac{3}{4}$, показатель равен 3;

г) основание равно $1\frac{1}{7}$, показатель равен 2.

а) Чтобы вычислить значение степени, нужно основание (число 3) возвести в степень, равную показателю (число 5). Это означает, что нужно умножить число 3 само на себя 5 раз.
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.
Ответ: 243

б) Основание равно -0,5, а показатель степени равен 4. Необходимо вычислить $(-0,5)^4$. Так как показатель степени — четное число, результат возведения отрицательного числа в степень будет положительным.
$(-0,5)^4 = 0,5^4 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625$.
Можно также представить -0,5 в виде обыкновенной дроби $-\frac{1}{2}$:
$(-\frac{1}{2})^4 = \frac{(-1)^4}{2^4} = \frac{1}{16} = 0,0625$.
Ответ: 0,0625

в) Основание степени — отрицательная дробь $-\frac{3}{4}$, а показатель степени равен 3. Нужно вычислить $(-\frac{3}{4})^3$. Так как показатель степени — нечетное число, результат будет отрицательным.
$(-\frac{3}{4})^3 = -(\frac{3}{4})^3 = -(\frac{3^3}{4^3}) = -(\frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4}) = -\frac{27}{64}$.
Ответ: $-\frac{27}{64}$

г) Основание степени — смешанное число $1\frac{1}{7}$, а показатель равен 2. Для вычисления сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.
$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.
Теперь возведем полученную дробь в квадрат:
$(\frac{8}{7})^2 = \frac{8^2}{7^2} = \frac{64}{49}$.
Поскольку результат — неправильная дробь, преобразуем ее обратно в смешанное число:
$\frac{64}{49} = 1\frac{15}{49}$.
Ответ: $1\frac{15}{49}$

18.16 Запишите на математическом языке:

а) чему равна площадь квадрата $s$ со стороной, равной $a$;

б) чему равен объём куба $v$, если ребро равно $a$.

а) Площадь квадрата, обозначаемая как $s$, равна произведению двух его сторон. Поскольку у квадрата все стороны равны и, согласно условию задачи, длина стороны равна $a$, то площадь вычисляется как произведение $a$ на $a$. На математическом языке это записывается как возведение $a$ во вторую степень (в квадрат). Таким образом, формула имеет вид: $s = a^2$.
Ответ: $s = a^2$

б) Объём куба, обозначаемый как $v$, равен произведению его длины, ширины и высоты. У куба все эти три измерения равны длине его ребра. По условию задачи длина ребра равна $a$. Следовательно, для вычисления объёма необходимо умножить $a$ само на себя три раза. На математическом языке это записывается как возведение $a$ в третью степень (в куб). Таким образом, формула имеет вид: $v = a^3$.
Ответ: $v = a^3$

18.17 а) Вычислите площадь квадрата, сторона которого равна:

3 см, 7 дм, 1,5 см, $\frac{1}{4}$ дм.

б) Вычислите объём куба, ребро которого равно:

10 м, 4 м, 0,6 м, $\frac{3}{7}$ м.

а)

Площадь квадрата (S) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны квадрата.

1. Если сторона равна 3 см, то площадь равна:

$S = 3^2 = 9$ см².

Ответ: 9 см².

2. Если сторона равна 7 дм, то площадь равна:

$S = 7^2 = 49$ дм².

Ответ: 49 дм².

3. Если сторона равна 1,5 см, то площадь равна:

$S = (1,5)^2 = 2,25$ см².

Ответ: 2,25 см².

4. Если сторона равна $\frac{1}{4}$ дм, то площадь равна:

$S = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$ дм².

Ответ: $\frac{1}{16}$ дм².

б)

Объём куба (V) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

1. Если ребро равно 10 м, то объём равен:

$V = 10^3 = 1000$ м³.

Ответ: 1000 м³.

2. Если ребро равно 4 м, то объём равен:

$V = 4^3 = 64$ м³.

Ответ: 64 м³.

3. Если ребро равно 0,6 м, то объём равен:

$V = (0,6)^3 = 0,216$ м³.

Ответ: 0,216 м³.

4. Если ребро равно $\frac{3}{7}$ м, то объём равен:

$V = (\frac{3}{7})^3 = \frac{3^3}{7^3} = \frac{27}{343}$ м³.

Ответ: $\frac{27}{343}$ м³.

18.18 a) Вычислите сторону квадрата, если его площадь равна: $16 \text{ см}^2$, $0,25 \text{ дм}^2$, $100 \text{ мм}^2$, $\frac{4}{9} \text{ м}^2$.

б) Вычислите ребро куба, если его объём равен: $27 \text{ мм}^3$, $0,125 \text{ см}^3$, $64 \text{ дм}^3$, $\frac{8}{125} \text{ м}^3$.

а)

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – сторона квадрата. Чтобы найти сторону квадрата, зная его площадь, необходимо извлечь квадратный корень из площади: $a = \sqrt{S}$.

• Если площадь равна $16 \text{ см}^2$, то сторона $a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

• Если площадь равна $0,25 \text{ дм}^2$, то сторона $a = \sqrt{0,25} = 0,5 \text{ дм}$.

• Если площадь равна $100 \text{ мм}^2$, то сторона $a = \sqrt{100} = 10 \text{ мм}$.

• Если площадь равна $\frac{4}{9} \text{ м}^2$, то сторона $a = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \text{ м}$.

Ответ: 4 см, 0,5 дм, 10 мм, $\frac{2}{3}$ м.

б)

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – ребро куба. Чтобы найти ребро куба, зная его объём, необходимо извлечь кубический корень из объёма: $a = \sqrt[3]{V}$.

• Если объём равен $27 \text{ мм}^3$, то ребро $a = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ мм}$.

• Если объём равен $0,125 \text{ см}^3$, то ребро $a = \sqrt[3]{0,125} = 0,5 \text{ см}$.

• Если объём равен $64 \text{ дм}^3$, то ребро $a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ дм}$.

• Если объём равен $\frac{8}{125} \text{ м}^3$, то ребро $a = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5} \text{ м}$.

Ответ: 3 мм, 0,5 см, 4 дм, $\frac{2}{5}$ м.