Страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.31 Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число представлено в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, 2, \dots, 9\}$), а $b$ — это цифра единиц ($b \in \{0, 1, \dots, 9\}$).

Из первого условия, что сумма цифр числа равна 11, мы можем составить первое уравнение:$a + b = 11$

Второе условие гласит, что если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24, а в остатке 2. Это можно записать, используя формулу деления с остатком: Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток. Здесь Делимое — это $10a + b$, Частное — 24, Остаток — 2.Делителем является разность цифр, которая должна быть положительной. Кроме того, остаток (2) должен быть меньше делителя, следовательно, разность цифр должна быть больше 2.Рассмотрим два возможных случая для разности цифр.

Случай 1: Разность цифр равна $a - b$.В этом случае должно выполняться условие $a > b$. Условие, что остаток меньше делителя, принимает вид $a - b > 2$.Составим второе уравнение:$10a + b = 24(a - b) + 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$\begin{cases}a + b = 11 \\10a + b = 24(a - b) + 2\end{cases}$Из первого уравнения выразим $b$: $b = 11 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:$10a + (11 - a) = 24(a - (11 - a)) + 2$$9a + 11 = 24(2a - 11) + 2$$9a + 11 = 48a - 264 + 2$$9a + 11 = 48a - 262$$262 + 11 = 48a - 9a$$273 = 39a$$a = \frac{273}{39} = 7$

Найдем соответствующее значение $b$:$b = 11 - a = 11 - 7 = 4$

Проверим, удовлетворяют ли найденные цифры $a=7$ и $b=4$ всем условиям.Искомое число: $10 \cdot 7 + 4 = 74$.Проверка условий:1. Сумма цифр: $7 + 4 = 11$. (Верно)2. Разность цифр $a - b = 7 - 4 = 3$. Это удовлетворяет условиям $a > b$ и $a - b > 2$. (Верно)3. Деление с остатком: $74$ разделить на $3$ дает частное $24$ и остаток $2$ ($3 \cdot 24 + 2 = 72 + 2 = 74$). (Верно)Следовательно, число 74 является решением.

Случай 2: Разность цифр равна $b - a$.В этом случае должно выполняться условие $b > a$. Условие на остаток: $b - a > 2$.Уравнение будет выглядеть так:$10a + b = 24(b - a) + 2$

Снова решаем систему с первым уравнением $a + b = 11$:$\begin{cases}a + b = 11 \\10a + b = 24(b - a) + 2\end{cases}$Подставляем $b = 11 - a$ во второе уравнение:$10a + (11 - a) = 24((11 - a) - a) + 2$$9a + 11 = 24(11 - 2a) + 2$$9a + 11 = 264 - 48a + 2$$9a + 11 = 266 - 48a$$9a + 48a = 266 - 11$$57a = 255$$a = \frac{255}{57}$Так как $255$ не делится нацело на $57$ ($a \approx 4.47$), то $a$ не является целым числом, а значит, и цифрой. Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственным решением задачи является число, найденное в первом случае.

Ответ: 74

16.32 Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 6 и в остатке 3. Если же разделить его на сумму цифр, увеличенную на 2, то в частном получится 5 и в остатке 5. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число записывается как $10a + b$, где $a$ - цифра десятков ($a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$), а $b$ - цифра единиц ($b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$). Сумма его цифр равна $a+b$.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

Из первого условия, что при делении числа на сумму его цифр в частном получается 6 и в остатке 3, следует уравнение:
$10a + b = 6(a + b) + 3$.
При этом остаток (3) должен быть меньше делителя ($a+b$), то есть $a + b > 3$.

Из второго условия, что при делении числа на сумму его цифр, увеличенную на 2, в частном получается 5 и в остатке 5, следует второе уравнение:
$10a + b = 5((a + b) + 2) + 5$.
Здесь остаток (5) должен быть меньше делителя ($a+b+2$), то есть $a + b + 2 > 5$, что эквивалентно $a+b > 3$.

Решим полученную систему уравнений.

Сначала упростим оба уравнения.
Первое уравнение:
$10a + b = 6a + 6b + 3$
$10a - 6a = 6b - b + 3$
$4a = 5b + 3$ (1)

Второе уравнение:
$10a + b = 5(a + b + 2) + 5$
$10a + b = 5a + 5b + 10 + 5$
$10a + b = 5a + 5b + 15$
$10a - 5a = 5b - b + 15$
$5a = 4b + 15$ (2)

Получили систему линейных уравнений:
$\begin{cases} 4a = 5b + 3 \\ 5a = 4b + 15 \end{cases}$
Выразим $a$ из первого уравнения: $a = \frac{5b + 3}{4}$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$5 \left( \frac{5b + 3}{4} \right) = 4b + 15$
Умножим обе части на 4:
$5(5b + 3) = 4(4b + 15)$
$25b + 15 = 16b + 60$
$25b - 16b = 60 - 15$
$9b = 45$
$b = 5$

Теперь найдем $a$, подставив $b=5$ в выражение $a = \frac{5b + 3}{4}$:
$a = \frac{5(5) + 3}{4} = \frac{25 + 3}{4} = \frac{28}{4} = 7$

Проверим найденное решение.

Найденные цифры: $a=7$ и $b=5$. Искомое число — 75. Сумма его цифр: $7 + 5 = 12$.
1. Проверим первое условие: $75 \div 12$. Так как $12 \cdot 6 + 3 = 72 + 3 = 75$, то частное равно 6, а остаток 3. Условие выполняется.
2. Проверим второе условие: Сумма цифр, увеличенная на 2, это $12 + 2 = 14$. $75 \div 14$. Так как $14 \cdot 5 + 5 = 70 + 5 = 75$, то частное равно 5, а остаток 5. Условие выполняется.
Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 75

16.33 Два фрезеровщика, один из которых работал 5 дней, а другой — 8 дней, изготовили 280 деталей. Затем, применив новую фрезу, первый повысил производительность труда на 62,5 %, а второй — на 50 %, и уже за 4 дня совместной работы они изготовили 276 деталей. Сколько деталей изготовили бы они с новой фрезой, если бы, как и раньше, первый работал 5 дней, а второй — 8 дней?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это начальная производительность первого фрезеровщика (количество деталей в день), а $y$ — начальная производительность второго фрезеровщика (количество деталей в день).

Исходя из первого условия, где первый фрезеровщик работал 5 дней, а второй — 8 дней, и вместе они изготовили 280 деталей, мы можем составить первое уравнение:
$5x + 8y = 280$

Далее, производительность труда первого рабочего повысилась на 62,5%, а второго — на 50%. Найдем их новые производительности:
Новая производительность первого фрезеровщика: $x + 0.625x = 1.625x$
Новая производительность второго фрезеровщика: $y + 0.5y = 1.5y$

По второму условию, за 4 дня совместной работы с новой производительностью они изготовили 276 деталей. Составим второе уравнение:
$4(1.625x + 1.5y) = 276$
Разделим обе части уравнения на 4, чтобы его упростить:
$1.625x + 1.5y = 69$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} 5x + 8y = 280 \\ 1.625x + 1.5y = 69 \end{cases} $

Для удобства вычислений, умножим второе уравнение на 8, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:
$8 \cdot (1.625x + 1.5y) = 8 \cdot 69$
$13x + 12y = 552$

Теперь наша система выглядит так:
$ \begin{cases} 5x + 8y = 280 \\ 13x + 12y = 552 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ \begin{cases} 3(5x + 8y) = 3 \cdot 280 \\ -2(13x + 12y) = -2 \cdot 552 \end{cases} $
$ \begin{cases} 15x + 24y = 840 \\ -26x - 24y = -1104 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(15x - 26x) + (24y - 24y) = 840 - 1104$
$-11x = -264$
$x = \frac{-264}{-11} = 24$

Итак, начальная производительность первого фрезеровщика была 24 детали в день. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение исходной системы:
$5(24) + 8y = 280$
$120 + 8y = 280$
$8y = 280 - 120$
$8y = 160$
$y = \frac{160}{8} = 20$

Начальная производительность второго фрезеровщика составляла 20 деталей в день.

Теперь определим их производительность с новой фрезой:
Новая производительность первого: $1.625 \cdot 24 = 39$ деталей в день.
Новая производительность второго: $1.5 \cdot 20 = 30$ деталей в день.

Наконец, вычислим, сколько деталей они изготовили бы с новой производительностью, если бы первый работал 5 дней, а второй — 8 дней:
Общее количество деталей = $(5 \cdot 39) + (8 \cdot 30) = 195 + 240 = 435$.

Ответ: 435 деталей.

16.34 Имеются две отливки стали двух сортов, одна из которых содержит $5 \%$, а другая — $10 \%$ никеля. Сплавив их вместе, получили отливку, содержащую $8 \%$ никеля. Найдите массу каждой отливки до переплавки, если известно, что вторая отливка содержала никеля на 4 т больше, чем первая.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $m_1$ — масса первой отливки в тоннах, а $m_2$ — масса второй отливки в тоннах.

Первая отливка содержит 5% никеля. Это означает, что масса чистого никеля в первой отливке составляет:
$n_1 = 0.05 \cdot m_1$

Вторая отливка содержит 10% никеля. Масса чистого никеля во второй отливке составляет:
$n_2 = 0.10 \cdot m_2$

Из условия известно, что вторая отливка содержала никеля на 4 тонны больше, чем первая. На основе этого можно составить первое уравнение:
$n_2 = n_1 + 4$
Подставив выражения для масс никеля, получим:
$0.10 \cdot m_2 = 0.05 \cdot m_1 + 4$

Далее, две отливки сплавили вместе. Масса нового сплава будет равна сумме масс исходных отливок, то есть $m_{общ} = m_1 + m_2$. Масса никеля в новом сплаве будет равна сумме масс никеля в исходных отливках, то есть $n_{общ} = n_1 + n_2 = 0.05 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2$.

В полученной отливке содержание никеля составляет 8%. Это позволяет нам составить второе уравнение:
$n_{общ} = 0.08 \cdot m_{общ}$
$0.05 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2 = 0.08 \cdot (m_1 + m_2)$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $m_1$ и $m_2$:
$\begin{cases} 0.10 \cdot m_2 = 0.05 \cdot m_1 + 4 \\ 0.05 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2 = 0.08 \cdot (m_1 + m_2) \end{cases}$

Начнем с упрощения второго уравнения:
$0.05 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2 = 0.08 \cdot m_1 + 0.08 \cdot m_2$
Перенесем члены с $m_1$ в одну сторону, а с $m_2$ — в другую:
$0.10 \cdot m_2 - 0.08 \cdot m_2 = 0.08 \cdot m_1 - 0.05 \cdot m_1$
$0.02 \cdot m_2 = 0.03 \cdot m_1$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100:
$2 \cdot m_2 = 3 \cdot m_1$
Отсюда выразим $m_2$ через $m_1$:
$m_2 = \frac{3}{2} m_1 = 1.5 \cdot m_1$

Теперь подставим полученное выражение для $m_2$ в первое уравнение системы:
$0.10 \cdot (1.5 \cdot m_1) = 0.05 \cdot m_1 + 4$
$0.15 \cdot m_1 = 0.05 \cdot m_1 + 4$
$0.15 \cdot m_1 - 0.05 \cdot m_1 = 4$
$0.10 \cdot m_1 = 4$
$m_1 = \frac{4}{0.10}$
$m_1 = 40$

Таким образом, масса первой отливки составляет 40 тонн. Теперь найдем массу второй отливки:
$m_2 = 1.5 \cdot m_1 = 1.5 \cdot 40 = 60$

Масса второй отливки составляет 60 тонн.

Ответ: масса первой отливки — 40 т, масса второй отливки — 60 т.

16.35 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 % и 40 %. Сколько тонн стали каждого сорта нужно взять, чтобы, сплавив их, получить 140 т стали, в которой содержится 30 % никеля?

Решение

Пусть $x$ — масса (в тоннах) лома стали первого сорта с 5% содержанием никеля, а $y$ — масса (в тоннах) лома стали второго сорта с 40% содержанием никеля.

Согласно условию, общая масса полученного сплава должна составить 140 тонн. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 140$

Теперь рассчитаем массу чистого никеля в каждом сорте стали и в итоговом сплаве.

Масса никеля в стали первого сорта составляет 5% от ее массы, то есть $0.05x$ тонн.

Масса никеля в стали второго сорта составляет 40% от ее массы, то есть $0.40y$ тонн.

Масса никеля в итоговом сплаве массой 140 тонн должна составлять 30%, то есть $140 \cdot 0.30 = 42$ тонны.

Сумма массы никеля из двух сортов стали должна быть равна массе никеля в конечном сплаве. Это дает нам второе уравнение:

$0.05x + 0.40y = 42$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 140 \\ 0.05x + 0.40y = 42 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 140 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.05(140 - y) + 0.40y = 42$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$0.05 \cdot 140 - 0.05y + 0.40y = 42$

$7 + 0.35y = 42$

$0.35y = 42 - 7$

$0.35y = 35$

$y = \frac{35}{0.35}$

$y = 100$

Итак, масса стали второго сорта (с 40% никеля) составляет 100 тонн. Теперь найдем массу стали первого сорта:

$x = 140 - y = 140 - 100 = 40$

Таким образом, масса стали первого сорта (с 5% никеля) составляет 40 тонн.

Ответ: нужно взять 40 тонн стали с 5% содержанием никеля и 100 тонн стали с 40% содержанием никеля.

16.36 Купили некоторое количество яблок по 30 р. за 1 кг и некоторое количество груш по 38 р. за 1 кг. Масса яблок и масса груш выражена целыми числами (в кг). Сколько всего купили фруктов, если за покупку заплатили 400 р.?

Пусть было куплено $x$ кг яблок и $y$ кг груш. Согласно условию задачи, $x$ и $y$ являются целыми положительными числами, так как масса выражена целыми числами и было куплено некоторое количество фруктов.

Стоимость купленных яблок составляет $30x$ рублей, а стоимость купленных груш — $38y$ рублей. Общая стоимость всей покупки равна 400 рублей.

Составим уравнение на основе этих данных:

$30x + 38y = 400$

Это линейное диофантово уравнение с двумя переменными. Нам необходимо найти его решение в целых положительных числах ($x > 0$, $y > 0$).

Для упрощения уравнения разделим все его члены на их наибольший общий делитель. НОД(30, 38) = 2. Разделим обе части уравнения на 2:

$15x + 19y = 200$

Мы можем решить это уравнение методом подбора, но можно сузить область поиска. Проанализируем исходное уравнение $30x + 38y = 400$.

Произведение $30x$ всегда будет оканчиваться на 0, так как один из множителей (30) оканчивается на 0. Чтобы сумма $30x + 38y$ оканчивалась на 0 (как число 400), необходимо, чтобы и произведение $38y$ также оканчивалось на 0. Произведение числа, оканчивающегося на 8 (как 38), на целое число $y$ будет оканчиваться на 0 только в том случае, если $y$ кратно 5 (например, $38 \cdot 5 = 190$, $38 \cdot 10 = 380$).

Также, поскольку $x$ и $y$ — положительные числа, мы можем найти предельные значения для $y$. Из уравнения $15x + 19y = 200$ следует, что $19y$ должно быть меньше 200, так как $15x$ — положительная величина.

$19y < 200$

$y < \frac{200}{19} \approx 10.52$

Таким образом, $y$ — это целое положительное число, меньшее 10.52 и кратное 5. Этим условиям удовлетворяют только два числа: 5 и 10.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $y = 5$:

Подставим это значение в уравнение $30x + 38y = 400$:

$30x + 38 \cdot 5 = 400$

$30x + 190 = 400$

$30x = 400 - 190$

$30x = 210$

$x = \frac{210}{30} = 7$

Мы получили целое положительное число $x=7$. Следовательно, пара ($x=7, y=5$) является решением задачи. Купили 7 кг яблок и 5 кг груш.

2. Если $y = 10$:

Подставим это значение в уравнение $30x + 38y = 400$:

$30x + 38 \cdot 10 = 400$

$30x + 380 = 400$

$30x = 400 - 380$

$30x = 20$

$x = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

Полученное значение $x$ не является целым числом, что противоречит условию задачи.

Таким образом, единственным решением является покупка 7 кг яблок и 5 кг груш.

Вопрос задачи — сколько всего килограммов фруктов купили. Для этого найдем сумму масс яблок и груш:

$x + y = 7 + 5 = 12$ кг.

Ответ: 12 кг.

16.37 Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 580 км, вышли навстречу друг другу два поезда. До встречи первый был в пути 4 ч, а второй — 3 ч, причём оба двигались с постоянными скоростями и без остановок. Найдите скорости поездов, если известно, что они выражаются целыми числами, кратными 10, и больше 50 км/ч.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого поезда, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго поезда.

До встречи первый поезд был в пути 4 часа и проехал расстояние $S_1 = 4 \cdot v_1$ км. Второй поезд был в пути 3 часа и проехал расстояние $S_2 = 3 \cdot v_2$ км. Так как они двигались навстречу друг другу и встретились, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пунктами, которое составляет 580 км.

Составим уравнение:
$S_1 + S_2 = 580$
$4v_1 + 3v_2 = 580$

По условию задачи, скорости поездов ($v_1$ и $v_2$) удовлетворяют трём условиям:
1. Являются целыми числами.
2. Кратны 10.
3. Больше 50 км/ч.

Из условия кратности 10 следует, что скорости можно представить в виде $v_1 = 10x$ и $v_2 = 10y$, где $x$ и $y$ — некоторые целые числа. Подставим эти выражения в наше уравнение:
$4(10x) + 3(10y) = 580$
$40x + 30y = 580$

Разделим обе части уравнения на 10:
$4x + 3y = 58$

Теперь используем условие, что скорости больше 50 км/ч:
$v_1 > 50 \implies 10x > 50 \implies x > 5$
$v_2 > 50 \implies 10y > 50 \implies y > 5$

Итак, нам нужно найти целые решения уравнения $4x + 3y = 58$ при условиях $x > 5$ и $y > 5$.
Выразим $y$ через $x$:
$3y = 58 - 4x$
$y = \frac{58 - 4x}{3}$

Поскольку $y$ должно быть целым числом, выражение $58 - 4x$ должно быть кратно 3. Будем подставлять целые значения $x > 5$ и проверять, получается ли целое значение $y > 5$.
• Если $x = 6$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 6}{3} = \frac{34}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 7$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 7}{3} = \frac{30}{3} = 10$. Это целое число, и оно удовлетворяет условию $y > 5$.
В этом случае скорости равны: $v_1 = 10x = 70$ км/ч и $v_2 = 10y = 100$ км/ч.
• Если $x = 8$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 8}{3} = \frac{26}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 9$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 9}{3} = \frac{22}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 10$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 10}{3} = \frac{18}{3} = 6$. Это целое число, и оно удовлетворяет условию $y > 5$.
В этом случае скорости равны: $v_1 = 10x = 100$ км/ч и $v_2 = 10y = 60$ км/ч.
• Если $x = 11$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 11}{3} = \frac{14}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 12$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 12}{3} = \frac{10}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 13$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 13}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Это целое число, но оно не удовлетворяет условию $y > 5$.

При дальнейшем увеличении $x$ значение $y$ будет уменьшаться, поэтому других решений, удовлетворяющих всем условиям, нет. Таким образом, задача имеет два возможных решения.
Ответ: скорость первого поезда — 70 км/ч, а второго — 100 км/ч, или скорость первого поезда — 100 км/ч, а второго — 60 км/ч.

16.38 Какое двузначное число обладает следующим свойством: если между его цифрами поместить цифру 0, то число увеличится в 6 раз?

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда значение этого числа можно представить в виде $10a + b$. При этом, так как число двузначное, $a$ не может быть нулём ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ может быть любой цифрой ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Если между его цифрами поместить цифру 0, то получится трехзначное число, у которого $a$ — цифра сотен, 0 — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Значение нового числа будет равно $100a + 0 \cdot 10 + b = 100a + b$.

По условию задачи, новое число в 6 раз больше исходного. Мы можем составить уравнение: $100a + b = 6 \cdot (10a + b)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $a$ и $b$: $100a + b = 60a + 6b$
$100a - 60a = 6b - b$
$40a = 5b$
Разделим обе части уравнения на 5: $8a = b$

Теперь найдем подходящие цифры $a$ и $b$. Вспомним, что $a$ — это цифра от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9.

• Если $a=1$, то $b = 8 \cdot 1 = 8$. Это допустимые значения для цифр. Искомое число — 18. Проверим: новое число 108. $18 \cdot 6 = 108$. Условие выполняется.
• Если $a=2$, то $b = 8 \cdot 2 = 16$. Это значение недопустимо, так как $b$ должно быть однозначным числом (цифрой).

При значениях $a > 1$ значение $b$ будет больше 9, что невозможно. Таким образом, существует только одно решение.

Ответ: 18