Номер 16.33, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.33 Два фрезеровщика, один из которых работал 5 дней, а другой — 8 дней, изготовили 280 деталей. Затем, применив новую фрезу, первый повысил производительность труда на 62,5 %, а второй — на 50 %, и уже за 4 дня совместной работы они изготовили 276 деталей. Сколько деталей изготовили бы они с новой фрезой, если бы, как и раньше, первый работал 5 дней, а второй — 8 дней?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это начальная производительность первого фрезеровщика (количество деталей в день), а $y$ — начальная производительность второго фрезеровщика (количество деталей в день).

Исходя из первого условия, где первый фрезеровщик работал 5 дней, а второй — 8 дней, и вместе они изготовили 280 деталей, мы можем составить первое уравнение:
$5x + 8y = 280$

Далее, производительность труда первого рабочего повысилась на 62,5%, а второго — на 50%. Найдем их новые производительности:
Новая производительность первого фрезеровщика: $x + 0.625x = 1.625x$
Новая производительность второго фрезеровщика: $y + 0.5y = 1.5y$

По второму условию, за 4 дня совместной работы с новой производительностью они изготовили 276 деталей. Составим второе уравнение:
$4(1.625x + 1.5y) = 276$
Разделим обе части уравнения на 4, чтобы его упростить:
$1.625x + 1.5y = 69$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} 5x + 8y = 280 \\ 1.625x + 1.5y = 69 \end{cases} $

Для удобства вычислений, умножим второе уравнение на 8, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:
$8 \cdot (1.625x + 1.5y) = 8 \cdot 69$
$13x + 12y = 552$

Теперь наша система выглядит так:
$ \begin{cases} 5x + 8y = 280 \\ 13x + 12y = 552 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ \begin{cases} 3(5x + 8y) = 3 \cdot 280 \\ -2(13x + 12y) = -2 \cdot 552 \end{cases} $
$ \begin{cases} 15x + 24y = 840 \\ -26x - 24y = -1104 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(15x - 26x) + (24y - 24y) = 840 - 1104$
$-11x = -264$
$x = \frac{-264}{-11} = 24$

Итак, начальная производительность первого фрезеровщика была 24 детали в день. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение исходной системы:
$5(24) + 8y = 280$
$120 + 8y = 280$
$8y = 280 - 120$
$8y = 160$
$y = \frac{160}{8} = 20$

Начальная производительность второго фрезеровщика составляла 20 деталей в день.

Теперь определим их производительность с новой фрезой:
Новая производительность первого: $1.625 \cdot 24 = 39$ деталей в день.
Новая производительность второго: $1.5 \cdot 20 = 30$ деталей в день.

Наконец, вычислим, сколько деталей они изготовили бы с новой производительностью, если бы первый работал 5 дней, а второй — 8 дней:
Общее количество деталей = $(5 \cdot 39) + (8 \cdot 30) = 195 + 240 = 435$.

Ответ: 435 деталей.