Номер 16.31, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.31 Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число представлено в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, 2, \dots, 9\}$), а $b$ — это цифра единиц ($b \in \{0, 1, \dots, 9\}$).

Из первого условия, что сумма цифр числа равна 11, мы можем составить первое уравнение:$a + b = 11$

Второе условие гласит, что если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24, а в остатке 2. Это можно записать, используя формулу деления с остатком: Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток. Здесь Делимое — это $10a + b$, Частное — 24, Остаток — 2.Делителем является разность цифр, которая должна быть положительной. Кроме того, остаток (2) должен быть меньше делителя, следовательно, разность цифр должна быть больше 2.Рассмотрим два возможных случая для разности цифр.

Случай 1: Разность цифр равна $a - b$.В этом случае должно выполняться условие $a > b$. Условие, что остаток меньше делителя, принимает вид $a - b > 2$.Составим второе уравнение:$10a + b = 24(a - b) + 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$\begin{cases}a + b = 11 \\10a + b = 24(a - b) + 2\end{cases}$Из первого уравнения выразим $b$: $b = 11 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:$10a + (11 - a) = 24(a - (11 - a)) + 2$$9a + 11 = 24(2a - 11) + 2$$9a + 11 = 48a - 264 + 2$$9a + 11 = 48a - 262$$262 + 11 = 48a - 9a$$273 = 39a$$a = \frac{273}{39} = 7$

Найдем соответствующее значение $b$:$b = 11 - a = 11 - 7 = 4$

Проверим, удовлетворяют ли найденные цифры $a=7$ и $b=4$ всем условиям.Искомое число: $10 \cdot 7 + 4 = 74$.Проверка условий:1. Сумма цифр: $7 + 4 = 11$. (Верно)2. Разность цифр $a - b = 7 - 4 = 3$. Это удовлетворяет условиям $a > b$ и $a - b > 2$. (Верно)3. Деление с остатком: $74$ разделить на $3$ дает частное $24$ и остаток $2$ ($3 \cdot 24 + 2 = 72 + 2 = 74$). (Верно)Следовательно, число 74 является решением.

Случай 2: Разность цифр равна $b - a$.В этом случае должно выполняться условие $b > a$. Условие на остаток: $b - a > 2$.Уравнение будет выглядеть так:$10a + b = 24(b - a) + 2$

Снова решаем систему с первым уравнением $a + b = 11$:$\begin{cases}a + b = 11 \\10a + b = 24(b - a) + 2\end{cases}$Подставляем $b = 11 - a$ во второе уравнение:$10a + (11 - a) = 24((11 - a) - a) + 2$$9a + 11 = 24(11 - 2a) + 2$$9a + 11 = 264 - 48a + 2$$9a + 11 = 266 - 48a$$9a + 48a = 266 - 11$$57a = 255$$a = \frac{255}{57}$Так как $255$ не делится нацело на $57$ ($a \approx 4.47$), то $a$ не является целым числом, а значит, и цифрой. Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственным решением задачи является число, найденное в первом случае.

Ответ: 74