Номер 16.36, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.36 Купили некоторое количество яблок по 30 р. за 1 кг и некоторое количество груш по 38 р. за 1 кг. Масса яблок и масса груш выражена целыми числами (в кг). Сколько всего купили фруктов, если за покупку заплатили 400 р.?

Пусть было куплено $x$ кг яблок и $y$ кг груш. Согласно условию задачи, $x$ и $y$ являются целыми положительными числами, так как масса выражена целыми числами и было куплено некоторое количество фруктов.

Стоимость купленных яблок составляет $30x$ рублей, а стоимость купленных груш — $38y$ рублей. Общая стоимость всей покупки равна 400 рублей.

Составим уравнение на основе этих данных:

$30x + 38y = 400$

Это линейное диофантово уравнение с двумя переменными. Нам необходимо найти его решение в целых положительных числах ($x > 0$, $y > 0$).

Для упрощения уравнения разделим все его члены на их наибольший общий делитель. НОД(30, 38) = 2. Разделим обе части уравнения на 2:

$15x + 19y = 200$

Мы можем решить это уравнение методом подбора, но можно сузить область поиска. Проанализируем исходное уравнение $30x + 38y = 400$.

Произведение $30x$ всегда будет оканчиваться на 0, так как один из множителей (30) оканчивается на 0. Чтобы сумма $30x + 38y$ оканчивалась на 0 (как число 400), необходимо, чтобы и произведение $38y$ также оканчивалось на 0. Произведение числа, оканчивающегося на 8 (как 38), на целое число $y$ будет оканчиваться на 0 только в том случае, если $y$ кратно 5 (например, $38 \cdot 5 = 190$, $38 \cdot 10 = 380$).

Также, поскольку $x$ и $y$ — положительные числа, мы можем найти предельные значения для $y$. Из уравнения $15x + 19y = 200$ следует, что $19y$ должно быть меньше 200, так как $15x$ — положительная величина.

$19y < 200$

$y < \frac{200}{19} \approx 10.52$

Таким образом, $y$ — это целое положительное число, меньшее 10.52 и кратное 5. Этим условиям удовлетворяют только два числа: 5 и 10.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $y = 5$:

Подставим это значение в уравнение $30x + 38y = 400$:

$30x + 38 \cdot 5 = 400$

$30x + 190 = 400$

$30x = 400 - 190$

$30x = 210$

$x = \frac{210}{30} = 7$

Мы получили целое положительное число $x=7$. Следовательно, пара ($x=7, y=5$) является решением задачи. Купили 7 кг яблок и 5 кг груш.

2. Если $y = 10$:

Подставим это значение в уравнение $30x + 38y = 400$:

$30x + 38 \cdot 10 = 400$

$30x + 380 = 400$

$30x = 400 - 380$

$30x = 20$

$x = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

Полученное значение $x$ не является целым числом, что противоречит условию задачи.

Таким образом, единственным решением является покупка 7 кг яблок и 5 кг груш.

Вопрос задачи — сколько всего килограммов фруктов купили. Для этого найдем сумму масс яблок и груш:

$x + y = 7 + 5 = 12$ кг.

Ответ: 12 кг.