Номер 16.37, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.37 Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 580 км, вышли навстречу друг другу два поезда. До встречи первый был в пути 4 ч, а второй — 3 ч, причём оба двигались с постоянными скоростями и без остановок. Найдите скорости поездов, если известно, что они выражаются целыми числами, кратными 10, и больше 50 км/ч.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого поезда, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго поезда.

До встречи первый поезд был в пути 4 часа и проехал расстояние $S_1 = 4 \cdot v_1$ км. Второй поезд был в пути 3 часа и проехал расстояние $S_2 = 3 \cdot v_2$ км. Так как они двигались навстречу друг другу и встретились, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пунктами, которое составляет 580 км.

Составим уравнение:
$S_1 + S_2 = 580$
$4v_1 + 3v_2 = 580$

По условию задачи, скорости поездов ($v_1$ и $v_2$) удовлетворяют трём условиям:
1. Являются целыми числами.
2. Кратны 10.
3. Больше 50 км/ч.

Из условия кратности 10 следует, что скорости можно представить в виде $v_1 = 10x$ и $v_2 = 10y$, где $x$ и $y$ — некоторые целые числа. Подставим эти выражения в наше уравнение:
$4(10x) + 3(10y) = 580$
$40x + 30y = 580$

Разделим обе части уравнения на 10:
$4x + 3y = 58$

Теперь используем условие, что скорости больше 50 км/ч:
$v_1 > 50 \implies 10x > 50 \implies x > 5$
$v_2 > 50 \implies 10y > 50 \implies y > 5$

Итак, нам нужно найти целые решения уравнения $4x + 3y = 58$ при условиях $x > 5$ и $y > 5$.
Выразим $y$ через $x$:
$3y = 58 - 4x$
$y = \frac{58 - 4x}{3}$

Поскольку $y$ должно быть целым числом, выражение $58 - 4x$ должно быть кратно 3. Будем подставлять целые значения $x > 5$ и проверять, получается ли целое значение $y > 5$.
• Если $x = 6$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 6}{3} = \frac{34}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 7$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 7}{3} = \frac{30}{3} = 10$. Это целое число, и оно удовлетворяет условию $y > 5$.
В этом случае скорости равны: $v_1 = 10x = 70$ км/ч и $v_2 = 10y = 100$ км/ч.
• Если $x = 8$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 8}{3} = \frac{26}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 9$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 9}{3} = \frac{22}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 10$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 10}{3} = \frac{18}{3} = 6$. Это целое число, и оно удовлетворяет условию $y > 5$.
В этом случае скорости равны: $v_1 = 10x = 100$ км/ч и $v_2 = 10y = 60$ км/ч.
• Если $x = 11$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 11}{3} = \frac{14}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 12$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 12}{3} = \frac{10}{3}$ — не целое число.
• Если $x = 13$, то $y = \frac{58 - 4 \cdot 13}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Это целое число, но оно не удовлетворяет условию $y > 5$.

При дальнейшем увеличении $x$ значение $y$ будет уменьшаться, поэтому других решений, удовлетворяющих всем условиям, нет. Таким образом, задача имеет два возможных решения.
Ответ: скорость первого поезда — 70 км/ч, а второго — 100 км/ч, или скорость первого поезда — 100 км/ч, а второго — 60 км/ч.