Номер 17.5, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Нечисловые ряды данных. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 2 - номер 17.5, страница 87.

Условие.

17.5 Для варианта № 1 контрольной работы случайным образом выбирают одну из данных систем уравнений (см. задачу 17.4), а для варианта № 2 — одну из оставшихся.

а) Сколько всего имеется вариантов такого выбора?

б) В скольких случаях система в варианте № 2 не будет иметь решений?

в) В скольких случаях каждая выбранная система имеет хотя бы одно решение?

г) В скольких случаях каждая выбранная система имеет единственное решение?

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать системы уравнений, упомянутые в условии как "данные системы уравнений (см. задачу 17.4)". Стандартный набор систем для этой задачи следующий:

1) $\begin{cases} 5x + 2y = 12 \\ 4x + y = 3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 5y = 1 \\ 2x + 7y = 9 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x - 6y = 12 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x - 6y = 5 \end{cases}$

Определим количество решений для каждой системы. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ количество решений зависит от соотношения коэффициентов:

• единственное решение, если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$;
• не имеет решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$;
• имеет бесконечно много решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Проанализируем наши системы:
Система 1: $\frac{5}{4} \neq \frac{2}{1}$, следовательно, имеет единственное решение.
Система 2: $\frac{3}{2} \neq \frac{-5}{7}$, следовательно, имеет единственное решение.
Система 3: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, следовательно, имеет бесконечно много решений.
Система 4: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} \neq \frac{6}{5}$, следовательно, не имеет решений.

Таким образом, у нас есть 4 системы: две с единственным решением, одна с бесконечным числом решений и одна без решений. Выбор для контрольной работы происходит так: для варианта № 1 выбирается одна система из четырех, а для варианта № 2 — одна из трех оставшихся.

а) Сколько всего имеется вариантов такого выбора?

Для варианта № 1 есть 4 способа выбрать систему. После того как система для варианта № 1 выбрана, для варианта № 2 остается $4-1=3$ системы для выбора. Общее число вариантов — это число размещений без повторений из 4 элементов по 2, которое вычисляется как произведение числа выборов: $4 \times 3 = 12$.

Ответ: 12.

б) В скольких случаях система в варианте № 2 не будет иметь решений?

Среди данных систем только одна не имеет решений (система 4). Это означает, что для варианта № 2 должна быть выбрана именно эта система. Такой выбор возможен только одним способом. Для варианта № 1 в этом случае можно выбрать любую из $4-1=3$ оставшихся систем. Следовательно, общее число таких комбинаций равно $3 \times 1 = 3$.

Ответ: 3.

в) В скольких случаях каждая выбранная система имеет хотя бы одно решение?

Выражение "имеет хотя бы одно решение" означает, что система имеет либо одно решение, либо бесконечно много решений. В нашем наборе таких систем 3 (системы 1, 2 и 3). Нам нужно выбрать две системы из этих трех, причем порядок выбора важен (вариант № 1 и вариант № 2). Для варианта № 1 есть 3 варианта выбора. После этого для варианта № 2 остается $3-1=2$ варианта. Общее число таких способов равно $3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6.

г) В скольких случаях каждая выбранная система имеет единственное решение?

Систем, имеющих единственное решение, всего две (системы 1 и 2). Нам нужно выбрать обе эти системы для двух вариантов. Для варианта № 1 есть 2 способа выбора. После этого для варианта № 2 остается только одна система. Таким образом, общее число способов равно $2 \times 1 = 2$.

Ответ: 2.