Номер 7, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7 Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2; 3)$ и $B(2; 6)$.

Для составления уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, можно воспользоваться каноническим уравнением прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

В нашем случае даны точки $A(-2; 3)$ и $B(2; 6)$. Подставим их координаты в формулу, приняв $x_1 = -2$, $y_1 = 3$, $x_2 = 2$ и $y_2 = 6$.

$\frac{x - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{y - 3}{6 - 3}$

Упростим знаменатели в полученном уравнении:

$\frac{x + 2}{2 + 2} = \frac{y - 3}{3}$

$\frac{x + 2}{4} = \frac{y - 3}{3}$

Это каноническое уравнение прямой. Чтобы привести его к общепринятому виду уравнения с угловым коэффициентом $y = kx + b$, воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(x + 2) = 4(y - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x + 6 = 4y - 12$

Теперь выразим переменную $y$ через $x$:

$4y = 3x + 6 + 12$

$4y = 3x + 18$

Разделим обе части уравнения на 4:

$y = \frac{3x + 18}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{18}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}$

Это и есть искомое уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Его также можно записать в общем виде $Ax + By + C = 0$. Исходя из равенства $4y = 3x + 18$, перенесем все члены в одну сторону:

$3x - 4y + 18 = 0$

Для проверки правильности решения подставим координаты исходных точек в полученное уравнение $y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}$.

Проверка для точки $A(-2; 3)$:

$3 = \frac{3}{4}(-2) + \frac{9}{2} = -\frac{6}{4} + \frac{9}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{-3+9}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$3 = 3$. Равенство верное.

Проверка для точки $B(2; 6)$:

$6 = \frac{3}{4}(2) + \frac{9}{2} = \frac{6}{4} + \frac{9}{2} = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{3+9}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$6 = 6$. Равенство верное.

Так как координаты обеих точек удовлетворяют уравнению, оно найдено верно.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}$ (или в общем виде $3x - 4y + 18 = 0$).