Номер 2, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2 Решите графически систему уравнений $\begin{cases} 3x + y = 2, \\ x - 2y = 3. \end{cases}$

Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить график каждого уравнения на одной координатной плоскости. Координаты точки пересечения этих графиков и будут решением системы.

1. Построение графика уравнения $3x + y = 2$

Сначала выразим переменную $y$ через $x$, чтобы привести уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$:

$y = -3x + 2$

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух точек. Выберем произвольные значения $x$ и вычислим соответствующие значения $y$:

При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку с координатами $(0, 2)$.

При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 + 2 = -1$. Получаем точку с координатами $(1, -1)$.

2. Построение графика уравнения $x - 2y = 3$

Аналогично преобразуем второе уравнение, выразив $y$ через $x$:

$-2y = -x + 3$

$2y = x - 3$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ или $y = 0.5x - 1.5$

Это также линейная функция, и ее график — прямая. Найдем координаты двух точек для ее построения:

При $x = 1$, $y = 0.5 \cdot 1 - 1.5 = -1$. Получаем точку с координатами $(1, -1)$.

При $x = 3$, $y = 0.5 \cdot 3 - 1.5 = 1.5 - 1.5 = 0$. Получаем точку с координатами $(3, 0)$.

3. Нахождение решения

Построим обе прямые в одной системе координат. Прямая $y = -3x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(1, -1)$. Прямая $y = 0.5x - 1.5$ проходит через точки $(1, -1)$ и $(3, 0)$.

Видно, что графики пересекаются в точке $(1, -1)$. Следовательно, решением системы является пара чисел $x=1$ и $y=-1$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения:

$\begin{cases} 3(1) + (-1) = 2 \\ 1 - 2(-1) = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 - 1 = 2 \\ 1 + 2 = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 = 2 \\ 3 = 3 \end{cases}$

Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(1, -1)$.