Номер 8, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8 Решите систему уравнений

$\begin{cases} \frac{3x - 2}{4y + 3} = \frac{4}{15}, \\ \frac{5x - y}{3y - 2} = 1. \end{cases}$

Данная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{3x - 2}{4y + 3} = \frac{4}{15} \\\frac{5x - y}{3y - 2} = 1\end{cases}$$

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в уравнениях не могут быть равны нулю:

Из первого уравнения: $4y + 3 \neq 0 \implies 4y \neq -3 \implies y \neq -\frac{3}{4}$.

Из второго уравнения: $3y - 2 \neq 0 \implies 3y \neq 2 \implies y \neq \frac{2}{3}$.

Далее, упростим каждое уравнение, чтобы избавиться от дробей.

1. Преобразуем первое уравнение.

Используем основное свойство пропорции (умножим крест-накрест):

$$ 15(3x - 2) = 4(4y + 3) $$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$$ 45x - 30 = 16y + 12 $$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$$ 45x - 16y = 12 + 30 $$

$$ 45x - 16y = 42 $$

2. Преобразуем второе уравнение.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(3y - 2)$:

$$ 5x - y = 1 \cdot (3y - 2) $$

$$ 5x - y = 3y - 2 $$

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, чтобы выразить $5x$:

$$ 5x = 3y + y - 2 $$

$$ 5x = 4y - 2 $$

3. Решим полученную систему линейных уравнений.

В результате преобразований мы получили следующую систему:

$$\begin{cases}45x - 16y = 42 \\5x = 4y - 2\end{cases}$$

Эту систему удобно решить методом подстановки. Из второго уравнения выразим $4y$:

$$ 4y = 5x + 2 $$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение. Заметим, что $16y = 4 \cdot (4y)$.

$$ 45x - 4(4y) = 42 $$

$$ 45x - 4(5x + 2) = 42 $$

Раскроем скобки и найдем значение $x$:

$$ 45x - 20x - 8 = 42 $$

$$ 25x = 42 + 8 $$

$$ 25x = 50 $$

$$ x = \frac{50}{25} $$

$$ x = 2 $$

4. Найдем значение y.

Подставим найденное значение $x = 2$ в выражение $4y = 5x + 2$:

$$ 4y = 5(2) + 2 $$

$$ 4y = 10 + 2 $$

$$ 4y = 12 $$

$$ y = \frac{12}{4} $$

$$ y = 3 $$

5. Проверим найденное решение.

Мы получили пару чисел $(2; 3)$. Проверим, соответствует ли она ОДЗ ($y \neq -\frac{3}{4}$ и $y \neq \frac{2}{3}$). Так как $3$ не равно ни $-\frac{3}{4}$, ни $\frac{2}{3}$, решение является допустимым.

Подставим $x=2$ и $y=3$ в исходные уравнения:

Первое уравнение: $ \frac{3(2) - 2}{4(3) + 3} = \frac{6 - 2}{12 + 3} = \frac{4}{15} $. Равенство $ \frac{4}{15} = \frac{4}{15} $ верно.

Второе уравнение: $ \frac{5(2) - 3}{3(3) - 2} = \frac{10 - 3}{9 - 2} = \frac{7}{7} = 1 $. Равенство $ 1 = 1 $ верно.

Оба уравнения обратились в верные равенства, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $(2; 3)$.