Номер 1, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

Вариант 2

1 Подберите три решения линейного уравнения $3x + 4y = 2$ так, чтобы переменные x и y имели одинаковые знаки.

Дано линейное уравнение $3x + 4y = 2$. Необходимо найти три его решения, то есть три пары чисел $(x, y)$, для которых переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.

Это означает, что мы должны рассмотреть два возможных случая: либо обе переменные положительны ($x > 0$ и $y > 0$), либо обе отрицательны ($x < 0$ и $y < 0$).

1. Случай, когда обе переменные отрицательны ($x < 0$ и $y < 0$).
Если $x$ — отрицательное число, то произведение $3x$ также будет отрицательным. Аналогично, если $y$ — отрицательное число, то и $4y$ будет отрицательным. Сумма двух отрицательных чисел ($3x + 4y$) всегда является отрицательным числом. Однако по условию уравнения эта сумма равна 2, что является положительным числом. Мы пришли к противоречию, следовательно, решений, в которых и $x$, и $y$ отрицательны, не существует.

2. Случай, когда обе переменные положительны ($x > 0$ и $y > 0$).
Из этого следует, что все искомые решения должны состоять из положительных чисел. Чтобы их найти, выразим переменную $y$ через $x$ из исходного уравнения:
$4y = 2 - 3x$
$y = \frac{2 - 3x}{4}$
Для того чтобы $y$ был положительным ($y > 0$), необходимо, чтобы числитель дроби $\frac{2 - 3x}{4}$ был положителен:
$2 - 3x > 0$
$2 > 3x$
$x < \frac{2}{3}$
Таким образом, для нахождения решений нам нужно подбирать значения $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0 < x < \frac{2}{3}$, и для каждого из них вычислять соответствующее значение $y$.

Подберем три таких решения:

Первое решение
Возьмем значение $x = 0.2$. Это значение удовлетворяет условию $0 < 0.2 < \frac{2}{3}$ (так как $\frac{2}{3} \approx 0.67$).
Найдем соответствующий $y$:
$y = \frac{2 - 3 \cdot 0.2}{4} = \frac{2 - 0.6}{4} = \frac{1.4}{4} = 0.35$.
Получили пару чисел $(0.2; 0.35)$. Оба числа положительны, значит, их знаки одинаковы.
Проверка: $3 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.35 = 0.6 + 1.4 = 2$. Равенство выполняется.

Второе решение
Возьмем другое значение $x$, например, $x = 0.4$. Это значение также удовлетворяет условию $0 < 0.4 < \frac{2}{3}$.
Найдем соответствующий $y$:
$y = \frac{2 - 3 \cdot 0.4}{4} = \frac{2 - 1.2}{4} = \frac{0.8}{4} = 0.2$.
Получили пару чисел $(0.4; 0.2)$. Оба числа положительны.
Проверка: $3 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 = 1.2 + 0.8 = 2$. Равенство выполняется.

Третье решение
Возьмем третье значение $x$, например, $x = 0.5$ (или $x = \frac{1}{2}$). Это значение удовлетворяет условию $0 < 0.5 < \frac{2}{3}$.
Найдем соответствующий $y$:
$y = \frac{2 - 3 \cdot 0.5}{4} = \frac{2 - 1.5}{4} = \frac{0.5}{4} = 0.125$.
Получили пару чисел $(0.5; 0.125)$. Оба числа положительны.
Проверка: $3 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.125 = 1.5 + 0.5 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: Например, следующие три пары чисел являются решениями уравнения и удовлетворяют условию: $(0.2; 0.35)$, $(0.4; 0.2)$ и $(0.5; 0.125)$.