Номер 8, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Домашняя контрольная работа № 3. Вариант 2 - номер 8, страница 89.

Условие.

8 Решите систему уравнений $ \begin{cases} \frac{4x - 5}{5x + 2y} = 1, \\ \frac{3 - 2x}{1 + 4y} = \frac{1}{5}. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4x - 5}{5x + 2y} = 1 \\ \frac{3 - 2x}{1 + 4y} = \frac{1}{5} \end{cases} $$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ), так как в уравнениях есть дроби. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$$ \begin{cases} 5x + 2y \neq 0 \\ 1 + 4y \neq 0 \end{cases} $$

Из второго условия получаем $4y \neq -1$, то есть $y \neq -\frac{1}{4}$.

Теперь преобразуем каждое уравнение системы, чтобы избавиться от дробей.

Рассмотрим первое уравнение:

$ \frac{4x - 5}{5x + 2y} = 1 $

Умножим обе части уравнения на знаменатель $5x + 2y$:

$ 4x - 5 = 1 \cdot (5x + 2y) $

$ 4x - 5 = 5x + 2y $

Перенесем все члены с переменными в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ 4x - 5x - 2y = 5 $

$ -x - 2y = 5 $

Умножим обе части на -1 для удобства:

$ x + 2y = -5 $

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$ \frac{3 - 2x}{1 + 4y} = \frac{1}{5} $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ 5 \cdot (3 - 2x) = 1 \cdot (1 + 4y) $

$ 15 - 10x = 1 + 4y $

Перенесем члены с переменными в одну сторону, а числа — в другую:

$ 15 - 1 = 10x + 4y $

$ 14 = 10x + 4y $

Разделим обе части уравнения на 2:

$ 7 = 5x + 2y $ или $ 5x + 2y = 7 $

В результате мы получили равносильную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y = -5 \\ 5x + 2y = 7 \end{cases} $$

Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения (вычитания). Вычтем из второго уравнения первое:

$ (5x + 2y) - (x + 2y) = 7 - (-5) $

$ 5x + 2y - x - 2y = 7 + 5 $

$ 4x = 12 $

$ x = \frac{12}{4} = 3 $

Теперь, зная значение $x$, найдем $y$, подставив $x = 3$ в первое уравнение упрощенной системы $x + 2y = -5$:

$ 3 + 2y = -5 $

$ 2y = -5 - 3 $

$ 2y = -8 $

$ y = \frac{-8}{2} = -4 $

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3; -4)$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение ОДЗ:

1. $5x + 2y = 5(3) + 2(-4) = 15 - 8 = 7 \neq 0$.

2. $y = -4 \neq -\frac{1}{4}$.

Оба условия выполняются, значит, решение найдено верно.

Ответ: $(3; -4)$.