Номер 2, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2 Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} x + 3y = 4, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков будут являться решением системы.

1. Построение графика уравнения $x + 3y = 4$

Данное уравнение является линейным, его график — прямая линия. Для построения прямой нам необходимо найти координаты как минимум двух точек. Сначала выразим переменную y через x:

$3y = 4 - x$

$y = \frac{4-x}{3}$ или $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$

Теперь найдем две точки, принадлежащие этой прямой, выбрав произвольные значения для x:

• Пусть $x=1$. Тогда $y = \frac{4-1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Получаем точку с координатами $(1; 1)$.
• Пусть $x=4$. Тогда $y = \frac{4-4}{3} = 0$. Получаем точку с координатами $(4; 0)$.

2. Построение графика уравнения $2x - y = 1$

Это уравнение также линейное, и его график — прямая. Выразим y через x:

$-y = 1 - 2x$

$y = 2x - 1$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• Пусть $x=0$. Тогда $y = 2(0) - 1 = -1$. Получаем точку с координатами $(0; -1)$.
• Пусть $x=2$. Тогда $y = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Получаем точку с координатами $(2; 3)$.

3. Нахождение решения

Построив обе прямые на координатной плоскости (первую — через точки $(1; 1)$ и $(4; 0)$, вторую — через точки $(0; -1)$ и $(2; 3)$), мы найдем их точку пересечения. Из вычислений для первой прямой мы уже получили точку $(1; 1)$. Проверим, лежит ли эта точка на второй прямой, подставив ее координаты в уравнение $y=2x-1$:

$1 = 2(1) - 1$

$1 = 1$

Равенство верное, значит, точка $(1; 1)$ принадлежит и второй прямой. Следовательно, это и есть точка пересечения графиков.

4. Проверка

Для окончательной уверенности подставим координаты точки $(1; 1)$ в исходную систему уравнений:

$\begin{cases} 1 + 3(1) = 4 \\ 2(1) - 1 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 + 3 = 4 \\ 2 - 1 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 4 = 4 \\ 1 = 1 \end{cases}$

Оба равенства верны, что подтверждает правильность найденного решения.

Ответ: $(1; 1)$.