Номер 16.32, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.32 Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 6 и в остатке 3. Если же разделить его на сумму цифр, увеличенную на 2, то в частном получится 5 и в остатке 5. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число записывается как $10a + b$, где $a$ - цифра десятков ($a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$), а $b$ - цифра единиц ($b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$). Сумма его цифр равна $a+b$.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

Из первого условия, что при делении числа на сумму его цифр в частном получается 6 и в остатке 3, следует уравнение:
$10a + b = 6(a + b) + 3$.
При этом остаток (3) должен быть меньше делителя ($a+b$), то есть $a + b > 3$.

Из второго условия, что при делении числа на сумму его цифр, увеличенную на 2, в частном получается 5 и в остатке 5, следует второе уравнение:
$10a + b = 5((a + b) + 2) + 5$.
Здесь остаток (5) должен быть меньше делителя ($a+b+2$), то есть $a + b + 2 > 5$, что эквивалентно $a+b > 3$.

Решим полученную систему уравнений.

Сначала упростим оба уравнения.
Первое уравнение:
$10a + b = 6a + 6b + 3$
$10a - 6a = 6b - b + 3$
$4a = 5b + 3$ (1)

Второе уравнение:
$10a + b = 5(a + b + 2) + 5$
$10a + b = 5a + 5b + 10 + 5$
$10a + b = 5a + 5b + 15$
$10a - 5a = 5b - b + 15$
$5a = 4b + 15$ (2)

Получили систему линейных уравнений:
$\begin{cases} 4a = 5b + 3 \\ 5a = 4b + 15 \end{cases}$
Выразим $a$ из первого уравнения: $a = \frac{5b + 3}{4}$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$5 \left( \frac{5b + 3}{4} \right) = 4b + 15$
Умножим обе части на 4:
$5(5b + 3) = 4(4b + 15)$
$25b + 15 = 16b + 60$
$25b - 16b = 60 - 15$
$9b = 45$
$b = 5$

Теперь найдем $a$, подставив $b=5$ в выражение $a = \frac{5b + 3}{4}$:
$a = \frac{5(5) + 3}{4} = \frac{25 + 3}{4} = \frac{28}{4} = 7$

Проверим найденное решение.

Найденные цифры: $a=7$ и $b=5$. Искомое число — 75. Сумма его цифр: $7 + 5 = 12$.
1. Проверим первое условие: $75 \div 12$. Так как $12 \cdot 6 + 3 = 72 + 3 = 75$, то частное равно 6, а остаток 3. Условие выполняется.
2. Проверим второе условие: Сумма цифр, увеличенная на 2, это $12 + 2 = 14$. $75 \div 14$. Так как $14 \cdot 5 + 5 = 70 + 5 = 75$, то частное равно 5, а остаток 5. Условие выполняется.
Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 75