Номер 16.28, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

16.28 Буратино положил в копилку 59 р. пятирублёвыми и двухрублёвыми монетами. В течение некоторого времени он докладывал туда деньги теми же монетами. Когда Буратино вскрыл копилку, он обнаружил, что пятирублёвых монет стало в 2 раза больше, чем было, а двухрублёвых — в 3 раза больше, чем было, при этом денег пятирублёвыми монетами стало на 2 р. меньше, чем двухрублёвыми. Сколько монет каждого достоинства было в копилке первоначально?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество пятирублёвых монет, а $y$ — первоначальное количество двухрублёвых монет.

Составление системы уравнений по условиям задачи.
Из первого условия известно, что первоначальная сумма в копилке была 59 рублей. Это можно выразить следующим уравнением:
$5x + 2y = 59$

Из второго условия следует, что после пополнения копилки количество пятирублёвых монет стало в 2 раза больше ($2x$), а двухрублёвых — в 3 раза больше ($3y$). Сумма денег, представленная новыми пятирублёвыми монетами, составила $5 \cdot (2x) = 10x$ рублей. Сумма денег двухрублёвыми монетами стала $2 \cdot (3y) = 6y$ рублей.
Также известно, что итоговая сумма пятирублёвыми монетами на 2 рубля меньше итоговой суммы двухрублёвыми. Это даёт нам второе уравнение:
$10x = 6y - 2$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} 5x + 2y = 59 \\ 10x = 6y - 2 \end{cases} $

Решение системы уравнений.
Сначала упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:
$5x = 3y - 1$
Теперь мы можем подставить полученное выражение для $5x$ в первое уравнение системы:
$(3y - 1) + 2y = 59$
Теперь решим это уравнение относительно $y$:
$5y - 1 = 59$
$5y = 59 + 1$
$5y = 60$
$y = \frac{60}{5}$
$y = 12$
Мы нашли, что первоначально в копилке было 12 двухрублёвых монет.

Теперь, зная значение $y$, найдём $x$, подставив $y=12$ в упрощенное второе уравнение $5x = 3y - 1$:
$5x = 3 \cdot (12) - 1$
$5x = 36 - 1$
$5x = 35$
$x = \frac{35}{5}$
$x = 7$
Следовательно, первоначально в копилке было 7 пятирублёвых монет.

Проверка.
Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи.
1. Начальная сумма: $5 \cdot 7 + 2 \cdot 12 = 35 + 24 = 59$ рублей. Верно.
2. Конечная сумма пятирублёвыми монетами: $10x = 10 \cdot 7 = 70$ рублей.
3. Конечная сумма двухрублёвыми монетами: $6y = 6 \cdot 12 = 72$ рубля.
4. Разница: $72 - 70 = 2$ рубля. Сумма пятирублёвыми на 2 рубля меньше. Верно.
Все условия задачи выполняются.

Ответ: первоначально в копилке было 7 пятирублёвых монет и 12 двухрублёвых монет.